选自Algorithm Design第二章第8题

1 题目描述

你正在对各种型号的玻璃罐进行一些压力测试，以确定它们可以跌落且不会破裂的高度。

在特定类型的玻璃罐上，此实验的设置如下：你有一个有 n 个梯级的梯子，你想找到最高的梯级，你可以从那里放下一个罐子，罐子不会摔碎。我们称之为最高的安全梯级。

尝试二进制搜索可能很自然：从中间的梯级中放一个罐子，看看它是否损坏，然后根据结果从梯级 n/4 或 3n/4 递归尝试。但这有一个缺点，即你可能会在寻找答案时打破很多罐子。

另一方面，如果您的主要目标是保存罐子，则可以尝试以下策略。首先从第一个梯级放下一个罐子，然后是第二个梯级，依此类推，每次爬高一个，直到罐子破裂。通过这种方式，你只需要一个罐子在它损坏的那一刻，您就有了正确的答案——但你可能必须将罐子丢n 次（而不是像二进制搜索解决方案中那样记录 n）。

所以这是一个权衡：如果你愿意打破更多的罐子，你似乎可以执行更少的下降。为了更好地理解这种权衡是如何在定量水平上进行的，让我们考虑如何在给定 k ≥ 1 罐的固定“预算”的情况下运行此实验。换句话说，你必须确定正确的答案——最高的安全梯级——并且在这样做时最多可以使用 k 个罐子。

1.1 问题1

假设您的预算为 k = 2 罐。描述一种寻找最高安全梯级的策略，该策略要求您最多丢弃一个罐子 f(n) 次，因为某些函数 f(n) 的增长速度比线性增长慢。（换句话说，应该是这样的）

1.2 问题2

现在假设您有 k > 2 罐的预算，对于某些给定的 k。描述使用最多 k 个罐子找到最高安全梯级的策略。如果 fk(n) 表示根据您的策略需要丢弃 jar 的次数，那么函数 f1, f2, f3,... 应该具有这样的特性，即每个函数的增长速度都比前一个慢：

2 解题思路

2.1 问题1

（1）假设n是一个安全平方数，我们在的倍数位置上扔第一个罐子，直到它碎了为止

如果我们到最后一个（也就是n），罐子还没有碎，那么就都是安全高度。

否则假设它在的位置碎了，我们就知道最高安全梯级应该在之间，于是我们从开始一个一个梯级向上扔，直到碎了为止

第一个罐子的时间复杂度是

第二个罐子的时间复杂度也是

所以整体的时间复杂度是

（2）假设n不是一个安全平方数，我们在的倍数位置上扔第一个罐子，直到它碎了为止(

否则假设它在的位置碎了，我们就知道最高安全梯级应该在之间，于是我们从开始一个一个梯级向上扔，直到碎了为止

第一个罐子的时间复杂度是

第二个罐子的时间复杂度是

所以整体的时间复杂度也是

2.2 问题2

我们假设

然后我们第一个罐子在以及它的倍数的位置扔下。

在这种情况下，我们最多扔,同时，我们把第二个罐子的搜索空间降低至

然后我们递归地看k-1个罐子的情况，根据假设，我们有，也即

将这个和第一个罐子的情况合并，有：，假设成立

算法导论习题（1）：摔杯子相关推荐

算法导论习题—主方法求渐进紧确界、递归树方法
算法导论习题-主方法求渐进紧确界.递归树方法 4.5-1 a. T(n)=2T(n/4)+1T ( n ) = 2 T ( n / 4 ) + 1T(n)=2T(n/4)+1 b. T(n)=2T(n ...
算法导论习题，思考题题解博主录
算法导论最好结合课后习题来看,以查漏补缺,检验自己对知识的掌握和理解水平我在看的过程中,参考了以下博主的博客 http://blog.csdn.net/longhuihu?viewmode=cont ...
算法导论习题—二叉搜索树、红黑树、区间树
算法基础习题-二叉搜索树.红黑树.区间树 1.二叉搜索树: 2.红黑树: 3.区间树: 1.二叉搜索树: 设 T T T是一棵二叉搜索树,其关键字互不相同;设 x x x是一个叶结点, y y y为其 ...
算法导论习题C.2-9答案
题目:你参加一个游戏.该游戏将奖品藏在了三个幕布之后.如果你选对了幕布,则可以赢得奖品.在你选择了一个幕布后,但是幕布还没有揭开之前,支持人会揭开另两个幕布中的一个空幕布(支持人知道哪个幕布后是空的) ...
算法导论习题24.2-4 amp; 24.3-6 单源最短路径问题
24.2-4:给出一个高效算法来统计邮箱无回路图中的全部路径数.分析所给出的算法. 24.3-6:设G=(V,E)为带权有向图,权函数W: E-> {0,1,....,W},其中W为某非负整数. ...
算法导论习题解答 16-1 （找零问题）
考虑用最少的硬币找nnn美分零钱的问题.假定每种硬币的面额都是整数. a. 设计贪心算法求解找零问题,假定有25美分.10美分.5美分和1美分4中面额的硬币.证明你的算法能找到最优解. b. 假定硬币 ...
算法导论中英文版下载
分享一下我老师大神的人工智能教程!零基础,通俗易懂!http://blog.csdn.net/jiangjunshow 也欢迎大家转载本篇文章.分享知识,造福人民,实现我们中华民族伟大复兴! 算法导论 ...
算法导论第三版第二章思考题答案
算法导论第三版第二章思考题答案第二章思考题算法导论第三版第二章思考题答案 2.1 2.2 2.3 2.4 汇总传送门 2.1 #include<iostream> using name ...
算法导论第三版2.3答案
算法导论第三版2.3答案 2.3 算法导论第三版2.3答案 2.3-1 2.3-2 2.3-3 2.3-4 2.3-5 2.3-6 2.3-7 汇总传送门 2.3-1 划分: {3}, {41}, { ...

算法导论习题（1）：摔杯子