好吧，你似乎对一些事情很困惑。让我们从头开始：你提到了一个“多维函数”，但接着讨论通常的单变量高斯曲线。这是而不是一个多维函数：当你集成它时，你只集成一个变量(x)。区别很重要，因为是一个称为“多元高斯分布”的怪物，它是一个真正的多维函数，如果被集成，则需要集成两个或多个变量(使用前面提到的昂贵的蒙特卡罗技术)。但是你似乎只是在讨论正则的单变量高斯函数，它更容易处理，积分，以及所有这些。

单变量高斯分布有两个参数，sigma和mu，是我们将要表示的x的单变量函数。您似乎还携带了一个规范化参数n(这在一些应用程序中很有用)。标准化参数通常不包含在计算中，因为您只需在结尾处将它们加回去(记住，积分是一个线性运算符：int(n*f(x), x) = n*int(f(x), x))。但如果你愿意，我们可以随身携带；我喜欢的正态分布符号是

N(x | mu, sigma, n) := (n/(sigma*sqrt(2*pi))) * exp((-(x-mu)^2)/(2*sigma^2))

(读作“给定的sigma，mu，和n的正态分布由…)到目前为止，很好；这与你得到的函数匹配。注意，这里唯一的真正变量是x：对于任何特定的高斯函数，其他三个参数都是固定的。

现在来看一个数学事实：所有高斯曲线都有相同的形状，这是可以证明的，它们只是稍微移动了一下。所以我们可以使用N(x|0,1,1)，称为“标准正态分布”，并将结果转换回一般的高斯曲线。所以如果你有N(x|0,1,1)的积分，你可以简单地计算任何高斯函数的积分。这个积分经常出现，因此它有一个特殊的名称：错误函数erf。由于一些旧的约定，它并不完全是的erf；还有一些加法和乘法因子也被携带。

如果Phi(z) = integral(N(x|0,1,1), -inf, z)；也就是说，Phi(z)是标准正态分布从负无穷到z的积分，那么根据误差函数的定义

Phi(z) = 0.5 + 0.5 * erf(z / sqrt(2))。

同样，如果Phi(z | mu, sigma, n) = integral( N(x|sigma, mu, n), -inf, z)；也就是说，Phi(z | mu, sigma, n)是给定参数mu，sigma，和n从负无穷到z的正态分布的积分，那么通过定义错误函数

Phi(z | mu, sigma, n) = (n/2) * (1 + erf((x - mu) / (sigma * sqrt(2))))。

好吧，这应该是足够的背景解释了。回到你的(编辑过的)帖子。你说“scipy.special中的erf(z)需要我精确定义t最初是什么”。我不知道你的意思；时间在哪里一点也不介意？希望上面的解释稍微揭开了错误函数的神秘面纱，现在更清楚了为什么错误函数是正确的函数。

您的Python代码是可以的，但是我更喜欢闭包而不是lambda：def make_gauss(N, sigma, mu):

k = N / (sigma * math.sqrt(2*math.pi))

s = -1.0 / (2 * sigma * sigma)

def f(x):

return k * math.exp(s * (x - mu)*(x - mu))

return f

使用闭包可以对常量k和s进行预计算，因此每次调用返回的函数时所需的工作更少(如果要集成它，这一点很重要，这意味着它将被多次调用)。此外，我避免使用指数运算符**，这比只写平方运算要慢，并将除法从内环中取出，用乘法代替它。我根本没看过它们在Python中的实现，但从我上次使用原始x87程序集为纯速度调整内部循环开始，我似乎还记得加法、减法或乘法s每个占用大约4个CPU周期，除以大约36，然后指数化大约200。那是几年前的事了，所以就拿这些数字来说吧；尽管如此，它还是说明了它们的相对复杂性。同样，计算exp(x)暴力方式是一个非常糟糕的主意；当编写exp(x)的良好实现时，可以使用一些技巧，使其比一般的a**b式指数运算更快更准确。

我从未使用过常量pi和e的numpy版本；我一直坚持使用普通的旧数学模块的版本。我不知道你为什么会喜欢这两个。

我不知道你要用这个电话干什么。quad(gen_gauss, -inf, inf, (10,2,0))应该把一个重新规范化的高斯从负无穷大积分到正无穷大，并且应该总是吐出10(你的规范化因子)，因为高斯在实线上积分到1。任何远不到10的答案(我不希望确切地10，因为quad()毕竟只是一个近似值)意味着某个地方出了问题。。。在不知道实际返回值和quad()的内部工作方式的情况下，很难说是什么搞砸了。

希望这已经消除了一些困惑，并解释了为什么错误函数是解决问题的正确答案，以及如果你好奇的话，如何自己做这一切。如果我的解释不清楚，我建议先快速浏览一下维基百科；如果你还有问题，不要犹豫。