蒟蒻的ACM数据结构(一)-线段树

浅谈线段树的指针写法

一、基本概念
二、代码实现与基本操作
- 0.基础数据结构
- 1.建树 built函数
- 2. 单点查询
- 3.单点修改
- 4.区间查询
- 5.区间修改
三.优化
- （一）. Lazy-Tag懒标记
- - 思想实现
  - 代码实现
  - - 0.核心代码 pushdown
    - 1.树本体
    - 2.建树
    - 3.单点查询和单点修改无改变
    - 4.区间查询
    - 5.区间修改
- （二）. 离散化
- （三）.子树收缩
数组实现
练习题目

欢迎各大佬，大牛对本文指正，也希望本文能对各位有所帮助
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一、基本概念

线段树是一棵二叉搜索树，它储存的是一个区间的信息。
每个节点以结构体的方式存储，结构体包含以下几个信息：每个节点以结构体的方式存储，结构体包含以下几个信息：

区间左端点、右端点

区间所代表的值

该节点的子节点

线段树的基本思想：二分。
线段树一般结构如图所示：
假设数据为4个数，则树应是这样
由上图可知，每个节点的

每个节点的左孩子区间范围为[left，mid]，右孩子为[mid+1,right]

二、代码实现与基本操作

0.基础数据结构

#ifndef NULL  //防报错
#define NULL 0
#endif
typedef struct Segment_Tree* Node;
struct Segment_Tree {int d;int left, right;Node lson, rson;
}*root;

1.建树 built函数

Node built(int left, int right){Node p = new(Segment_Tree);//Node p=(Node) malloc(sizeof(Segment_Tree));,c用法//申请一个新内存，并令p指向该处p->left = left;    //储存区间信息p->right = right;if (left == right) {p->d = a[left];  //scanf("%d",&p->d),cin>>p->d,皆可，及储存数据p->lson = NULL;  //令左儿子和右儿子指向NULLp->rson = NULL;}else {int mid = (left + right) / 2;   //二分p->lson = built(left, mid); //左儿子p->rson = built(mid + 1, right); //右儿子p->d=p->lson->d+p->rson->d;  //存储左儿子和右儿子的和} return p; //返回指向该处的指针
}

除了建树，相应关闭树的函数为：

void close(Node p)
{if (p != NULL) {close(p->lson);close(p->rson);delete(p); //free(p);c用法}return;
}

非常需要注意的一件事，每次用指针建立树的时候，请务必写一个关闭清理申请的内存的函数

2. 单点查询

(1).查找k位置的数据

int find(Node p, int k)
{if (p->left == p->right&&p->left == k)return p->d;int mid = (p->left + p->right) / 2;if (k <= mid)return find(p->lson, k);return find(p->rson, k);
}

3.单点修改

(1).知道点所在位置，修改该点处值

int update(Node p, int x,int k)  //对x位置的值，进行k值的变动
{if (p->left == p->right&&p->left == x)  //如过找到了k位置return p->d +=k;           //对该点值进行操作，可以为+-*/等int mid = (p->left + p->right) / 2; //判断该点在左区间还是右区间if (x <= mid)   //如果是左区间，只对左区间进行递归查询return p->d = update(p->lson, x, k)+p->rson->d;  //查找完后对父节点存储值进行修改return p->d = p->lson->d+update(p->rson, x, k); //不是该点，也不在左区间，只能是右区间
}

4.区间查询

所给区间仅可能为上图四种情况。
通过一定操作，我们都可以将上三种，全部转换为最后一种直接输出。
闲话少说，代码实现

int find(Node p, int x,int y)  //注，这里假设任意x,y，都有x<y
{if (p->left == x && p->right == y)  //如果是第四种情况，直接返回return p->d;int mid = (p->left + p->right) / 2;   //求中间值if (y <= mid)   //如果查询区间在mid左边，因为x<y<=midreturn find(p->lson, x, y); //那么直接递归左儿子if (x > mid)   //如果查询区间在mid右边，因为mid<x<yreturn find(p->rson, x, y);  //那么直接递归右儿子return find(p->lson, x, mid)+find(p->rson, mid + 1, y);  //两式都不符合，及x<=mid<y//则从mid为中间值分开//左儿子查询[x,mid],右儿子查询[mid+1,y]
}

5.区间修改

int update(Node p, int x, int y, int k)  //设区间为[x,y]，修改的值为k
{if (p->left == p->right && p->left == x)  //如果是这个区间内的元素，就让它+kreturn p->d+=k;int mid = (p->left + p->right) / 2;  //二分if (y <= mid)   //如果区间在中值的左侧return p->d=update(p->lson, x, y,k)+p->rson->d;  //仅需更新左儿子的值，并更新父亲的值if (x > mid) //如果区间在中值的左侧return p->d=p->lson->d+update(p->rson, x, y,k); //同上return p->d=update(p->lson, x, mid,k) + update(p->rson, mid + 1, y,k); //如果区间被中值分开
}

三.优化

（一）. Lazy-Tag懒标记

我们考虑一下区间改值的过程：当更改某个区间的值的时候，子区间也跟着更改。显然，在大数据下，这样操作会导致TLE。
怎么办？
这时我们就引入一个优化方法，叫做Lazy-Tag懒标记。
何为懒标记呢？顾名思义，就是用来偷懒的减少修改时消耗时间的。即：
当我想要对某一区间的所有元素都+k时，在修改该区间节点时，对其打上标记lazy，并记lazy为k，修改该节点的值为+区间长度*k，立刻return，而不将该节点下面的所有子节点一一修改。

思想实现

如图示：1~4的值分别为1，2，3，4

我们选择对[1,2]区间进行修改，要求改区间所有值+2，则：在区间[1,2]，打上标记lazy=2，并修改其值为3+(2-1+1)*2，直接返回，并不对其子节点进行修改

当我们再次对[1,2]区间修改时，并要求区间内所有的值+1，则：由于[1,2]有标记lazy=2，于是我们将lazy标记向其子节点传导，并修改其子节点的值。再在[1,2]区间打上lazy=1，修改值为(2-1+1)*1，返回。

代码实现

0.核心代码 pushdown

void pushdown(Node p)
{if (p->lson != NULL) {  //如果该节点还有后续节点p->lson->lazy += p->lazy;  //令子节点lazy继承父节点lazy，下同p->lson->d += (p->lson->right - p->lson->left + 1)*p->lazy;  //修改子节点的值，下同p->rson->lazy += p->lazy;p->rson->d += (p->rson->right - p->rson->left + 1)*p->lazy;}p->lazy = 0; //令该节点的lazy清零
}

1.树本体

#ifndef NULL
#define NULL 0
#endif
typedef struct Segment_Tree* Node;
struct Segment_Tree {int d,lazy;   //仅仅多了一个lazy标记int left, right;Node lson, rson;
}*root;

2.建树

Node built(int left, int right)
{Node p = new(Segment_Tree);p->left = left;p->right = right;p->lazy = 0;  //只是对lazy标记进行初始化if (left == right) {p->d = a[left];p->lson = NULL;p->rson = NULL;}else {int mid = (left + right) / 2;p->lson = built(left, mid);p->rson = built(mid + 1, right);p->d = p->lson->d+p->rson->d;}return p;
}
void close(Node p)
{if (p != NULL) {close(p->lson);close(p->rson);delete(p); //free(p);c用法}return;
}

3.单点查询和单点修改无改变

4.区间查询

long long find(Node p, int x, int y)  //区间查询
{if (p->lazy != 0)  //解决一下历史遗留问题再查询pushdown(p);if (p->left == x && p->right == y)  //其他未变return p->d;int mid = (p->left + p->right) / 2;if (y <= mid)return find(p->lson, x, y);if (x > mid)return find(p->rson, x, y);return find(p->lson, x, mid)+find(p->rson, mid + 1, y);
}

5.区间修改

int update(Node p, int x, int y, int k)  //区间修改
{if (p->lazy!=0)    //如果该节点的lazy不为零，就处理一下pushdown(p);if (p->left == x && p->right==y) {   //如果是要进行修改的节点，便让该节点的lazy为k，并修改值p->lazy = k;return p->d += k*(y - x + 1);}int mid = (p->left + p->right) / 2;if (y <= mid)return p->d = p->rson->d+update(p->lson, x, y, k);if (x > mid)return p->d = p->lson->d+ update(p->rson, x, y, k);return p->d = update(p->lson, x, mid, k) + update(p->rson, mid + 1, y, k);
}

（二）. 离散化

蒟蒻还没学会嘤嘤嘤

所谓离散化就是将无限的个体映射到有限的个体中，从而提高算法效率。
举个简单的例子，一个实数数组，我想很快的得到某个数在整个数组里是第几大的，并且询问数很多，不允许每次都遍历数组进行比较。
那么，最直观的想法就是对原数组先进行一个排序，询问的时候只需要通过二分查找就能在O( log(n))的时间内得出这个数是第几大的了，离散化就是做了这一步映射。对于一个数组[1.6, 7.8, 5.5, 11.1111,99999, 5.5]，离散化就是将原来的实数映射成整数(下标)，如图所示：
这样就可以将原来的实数保存在一个有序数组中，询问第K大的是什么称为正查，可以利用下标索引在O(1)的时间内得到答案；询问某个数是第几大的称为反查，可以利用二分查找或者Hash得到答案，复杂度取决于具体算法，一般为O(log(n))。

--------------------- 作者：英雄哪里出来
来源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/78969718
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（三）.子树收缩

蒟蒻还没学会嘤嘤嘤

子树收缩是子树继承的逆过程，子树继承是为了两棵子树获得父结点的信息；而子树收缩则是在回溯的时候，如果两棵子树拥有相同数据的时候在将数据传递给父结点，子树的数据清空，这样下次在访问的时候就可以减少访问的结点数。
--------------------- 作者：英雄哪里出来
来源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/78969718

数组实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#ifndef null
#define null -1
#endif
using namespace std;const int MAXN = 1e5 + 10;
typedef long long ll;struct Segment_Tree {ll d, lazy;int left, right;int lson, rson;
}root[4 * MAXN];
int n;void built(int p, int left, int right)
{root[p].left = left;root[p].right = right;root[p].lazy = 0;if (left == right) {cin >> root[p].d;root[p].lson = root[p].rson = null;}else {int mid = (left + right) >> 1;built(root[p].lson = (p << 1), left, mid);built(root[p].rson = (p << 1 | 1), mid + 1, right);root[p].d = root[root[p].lson].d + root[root[p].rson].d;}
}void pushdown(int p)
{if (root[p].lson != null) {root[root[p].lson].lazy += root[p].lazy;root[root[p].lson].d += (root[root[p].lson].right - root[root[p].lson].left + 1)*root[p].lazy;root[root[p].rson].lazy += root[p].lazy;root[root[p].rson].d += (root[root[p].rson].right - root[root[p].rson].left + 1)*root[p].lazy;}root[p].lazy = 0;
}ll find(int p, int x, int y)
{if (root[p].lazy != 0)pushdown(p);if (root[p].left == x && root[p].right == y)return root[p].d;int mid = (root[p].left + root[p].right) >> 1;if (y <= mid)return find(root[p].lson, x, y);if (x > mid)return find(root[p].rson, x, y);return find(root[p].lson, x, mid) + find(root[p].rson, mid + 1, y);
}long long update(int p, int x, int y, int k)  //区间
{if (root[p].lazy != 0)pushdown(p);if (root[p].left == x && root[p].right == y) {root[p].lazy = k;return root[p].d += k * (y - x + 1);}int mid = (root[p].left + root[p].right) >> 1;if (y <= mid)return root[p].d = root[root[p].rson].d + update(root[p].lson, x, y, k);if (x > mid)return root[p].d = root[root[p].lson].d + update(root[p].rson, x, y, k);return root[p].d = update(root[p].lson, x, mid, k) +update(root[p].rson, mid+1, y, k);
}int main()
{int m;cin >> n >> m;built(1, 1, n);for (int i = 0; i < m; i++) {int t, x, y, k;cin >> t;if (t == 1) {cin >> x >> y >> k;update(1, x, y, k);}else {cin >> x >> y;cout << find(1, x, y) << endl;}}return 0;
}

练习题目

洛谷P2251
裸的RMQ问题,数据量小.
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洛谷线段树模板题