codeforces数论专题总结

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codeforces数论专题总结(1300~1800)
- 1444A Division (1500)
- 1462D Add to Neighbour and Remove(1400)
- 1423K Lonely Numbers(1600)
- 1407B Big Vova(1300)
- 1409C Yet Another Array Restoration(1200)

codeforces数论专题总结(1300~1800)

1444A Division (1500)

题意：输入两个数p，q. 求最大的数x，满足以下条件：

p%x==0
x%q!=0

一共两种情况：

p%q!=0 答案就是p
p%q==0，那么对q进行质因子分解得：p = $ p_{1}^{a1} p_{2} ^ {a2}…* p_{n} ^{an} $ 因为x和q都是p得因子，那么x质因子分解以后和q的分解一定不相同，要么质因子个数不同，要么某个质因子的数量不同；所以枚举q的每个质因子的个数，让q不断的去除以某个质因子，直到得到满足条件的x，所有情况取最大值；

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define sf(a) scanf("%d",&a)
#define sff(a,b) scanf("%d %d",&a,&b)
#define sfff(a,b,c) scanf("%d %d %d",&a,&b,&c)
#define pf(a) printf("%d\n",a)
#define pff(a,b) printf("%d %d\n",a,b)
#define PII pair<pair<int,int>,int>
typedef long long ll;
const int N=5e4+7,INF=0x3f3f3f3f;
vector<int> v;
int main()
{int t;sf(t);while(t--){ll a,b;cin >>a>>b;v.clear();if(a>=b){if(a%b!=0) cout <<a<<endl;else{ll ans=0,x=b;for(int i=2;i*i<=b;i++){if(b%i==0){while(b%i==0) b/=i;v.push_back(i);}}if(b>1) v.push_back(b);for(int i=0;i<v.size();i++){int j=v[i];ll temp=a;while(temp%j==0){temp/=j;if(temp%x!=0&&a%temp==0){ans=max(ans,temp);break;}}}cout <<ans<<endl;}}else cout <<a<<endl;}}

1462D Add to Neighbour and Remove(1400)

题意：给出一个数组，每次可以合并任意两个数，问至少多少次合并操作后可以使数组中的数全都相同；
思路：因为每次只能合并相邻的，所以合并是一段一段的；假设合并后数组长度为x，那么数组中的每个数都是sum/x，所以每一段合并后的和都应该是sum/x；枚举数组合并后的长度(1~n)取最大值（如果从n往1枚举，那么第一次得出的结果就是最优解）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define sf(a) scanf("%lld",&a)
#define sff(a,b) scanf("%d %d",&a,&b)
#define sfff(a,b,c) scanf("%d %d %d",&a,&b,&c)
#define pf(a) printf("%d\n",a)
#define pff(a,b) printf("%d %d\n",a,b)
#define PII pair<pair<int,int>,int>
typedef long long ll;
const int N=1e6,INF=0x3f3f3f3f;
ll a[N],sum;
int main()
{int t;cin >>t;while(t--){int n;cin >>n;sum=0;for(int i=1;i<=n;i++){cin >>a[i];sum+=a[i];}ll ans=n;for(int i=n;i>=1;i--){if(sum%i==0){ll res=sum/i,x=0,y=0;
//              cout <<"%%"<<res<<endl;for(int j=1;j<=n;j++){if(y==-1) break; x+=a[j];
//                  cout <<x<<endl;if(x==res) y=1,x=0;else if(x>res) y=-1;}if(x<res&&x!=0) y=-1;if(y>0) {ans=n-i;break;}}}cout <<ans<<endl;}
}

1423K Lonely Numbers(1600)

题意：当一个数满足下面条件时是孤独的：没有任何一个数和他满足下列关系：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tXScN9PJ-1608465174526)(./1608212464790.png)]就是不能组成三角形，则这个数是孤独的；问1-n有多少个数是孤独的
思路：分奇偶讨论：

偶数：假设两个相邻的偶数x，y；他们的gcd一定是2，又因为x/gcd(x,y) , y/gcd(x,y)之间相差1，所以三者肯定能构成三角形
奇数：奇数分两种情况：合数，质数；对于合奇数一定符合情况，对于质数，假设质数为x，那么只有另一个数大于等于 x 2 x^2 x2 时才满足条件，所以只需要找出来 n ↔ n \sqrt{n}\leftrightarrow n n ↔n之间的质数即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define sf(a) scanf("%d",&a)
#define sff(a,b) scanf("%d %d",&a,&b)
#define sfff(a,b,c) scanf("%d %d %d",&a,&b,&c)
#define pf(a) printf("%d\n",a)
#define pff(a,b) printf("%d %d\n",a,b)
const int N=2e6+7;
int primes[N], cnt;
bool st[N]; void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}
int main()
{//ios::sync_with_stdio(false);get_primes(1e6);int t;sf(t);while(t--){int n;sf(n);if(n==1){puts("1");continue;}int ans=1;int res=sqrt(n);int l=upper_bound(primes,primes+cnt,res)-primes;int r=upper_bound(primes,primes+cnt,n)-primes;if(l==0&&primes[0]>res) ans+=r-l;else l--,ans+=(r-l-1);pf(ans);}
}

1407B Big Vova(1300)

题意：给出一个数组a，要求用数组中所有的数字构造出一个数组b，然后数组c的定义是[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-yBZLCcND-1608465174529)(./1608367631741.png)]
要求构造数组b，使得c数组最大
思路：暴力，每次遍历当前没用过的数，找到使得gcd最大的数字并且保存和标记

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e3+2;
int a[N],b[N],st[N];
bool cmp(int x,int y)
{return x>y;
}
int main()
{int t;cin >>t;while(t--){memset(st,0,sizeof st);int n;cin >>n;for(int i=0;i<n;i++) cin >>a[i];sort(a,a+n,cmp);int x,y,cnt=0;int gcd=a[0];//cout <<gcd<<endl;b[cnt++]=a[0];st[0]=1;while(cnt<n){int temp=-1;for(int j=0;j<n;j++){if(st[j]) continue;int res=__gcd(gcd,a[j]);//cout <<res<<" ##"<<endl;if(res>temp) y=j,temp=res;}
//          cout <<temp<<endl;
//          cout <<"y"<<" "<<y<<endl;b[cnt++]=a[y];st[y]=1;gcd=__gcd(gcd,a[y]);}for(int i=0;i<cnt;i++) cout <<b[i]<<" ";cout <<endl;}
}

1409C Yet Another Array Restoration(1200)

断更…（不完美的退役）