CF949B A Leapfrog in the Array 【构造】

题解概述

从查询位逆向跳跃，回溯至构造前的起始跳转位，即可推导出起始跳转位所对应的数字值，操作时间复杂度为 O ( q l o g ( n ) ) O(qlog(n)) O(qlog(n)).

读者不难达成以下共识

在构造过程中，序列的前半部分数字将会保持原位不动；
当有 n n n个数字时，初始序列共有 n − 1 n-1 n−1个空位，因此总共需要 n − 1 n-1 n−1次移动操作才能完成最终序列构造，即填满空位；
在构造过程中，第 i i i次操作的移动距离也为 i i i；
在构造过程中，一个独特数字的首次操作移动距离总是奇数；
一个独特数字的下一次移动距离会翻倍。

由上述共识可得，无需推演全部构造过程，即可用 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)的复杂度推出某一个数字的最终位置。

利用上述共识可逆向迭代回溯出查询位所对应的起始数字值

首先易得，奇数查询位 的对应值为 ⌊ x 2 ⌋ + 1 \lfloor\frac{x}{2}\rfloor + 1 ⌊2x⌋+1 （见共识0） .

下面为 偶数查询位 的推导步骤：

查询位 x x x的左侧有 ⌊ x 2 ⌋ − 1 \lfloor\frac{x}{2}\rfloor - 1 ⌊2x⌋−1个初始填充空位；
由于共有 n − 1 n-1 n−1次移动操作，查询位 x x x末次移动为第 ( n − 1 ) − ( ⌊ x 2 ⌋ − 1 ) (n-1) - (\lfloor\frac{x}{2}\rfloor - 1) (n−1)−(⌊2x⌋−1)次移动，移动距离自然也是 ( n − 1 ) − ( ⌊ x 2 ⌋ − 1 ) (n-1) - (\lfloor\frac{x}{2}\rfloor - 1) (n−1)−(⌊2x⌋−1) （见共识2，第 i i i次操作的移动距离也为 i i i） ；
由共识3,4可得，每次移动距离的上一次移动距离会减半，直至移动距离为奇数（首次移动），设2中的末次移动距离为 l e n len len，我们可通过迭代 l e n / = 2 len /= 2 len/=2向右回推求解起始位，直至 l e n len len为奇数，设推出查询位 x x x的起始位置为 p o s pos pos；
构造前起始 p o s pos pos位的对应值为 ⌊ p o s 2 ⌋ + 1 \lfloor\frac{pos}{2}\rfloor + 1 ⌊2pos⌋+1.

逆向迭代递推代码如下（附正向构造过程代码）：

/*Backtracking code for construction
*/#include <iostream>
using namespace std;int main()
{long long int n, q;cin >> n >> q;long long mid = (n+1) / 2;for (int i = 0; i < q; i ++){long long int x;cin >> x;if (x % 2 == 1){cout << x / 2 + 1 << endl;continue;}// (n - 1) == tot empty cells number, or tot moves// (x/2 - 1) == pre empty cells numberlong long int firstStepLength_reverse = (n-1) - (x/2 - 1);long long int pos = x;while (firstStepLength_reverse % 2 != 1){pos += firstStepLength_reverse;firstStepLength_reverse /= 2;}pos += firstStepLength_reverse;cout << pos / 2 + 1 << endl;}return 0;
}/*Construction code
*//*
#include <iostream>
using namespace std;int main()
{long long int n, q;cin >> n >> q;long long int mid = (n+1) / 2;for (int i = 0; i < q; i ++){long long int x;cin >> x;if (x <= mid){cout << x * 2 - 1 << endl;continue;}long long int firstStepLength = (n-x+1) * 2 - 1;long long int pos = x * 2 - 1;while (pos > n){pos -= firstStepLength;firstStepLength *= 2;}cout << pos << endl;}return 0;
}
*/

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