#4850. 查拉图斯特拉如是说
题目描述
给出 n n n 以及一个 m m m 次多项式 f ( x ) f(x) f(x)，需要求出
∑ i = 0 n ( n i ) f ( i ) \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} f(i) i=0∑n(in)f(i)
对 998244353 998244353 998244353 取模的结果。
数据范围
1 ≤ m ≤ 100000 , m ≤ n ≤ 1 0 9 1\le m\le 100000,m\le n\le 10^9 1≤m≤100000,m≤n≤109
题解
orzsz！
考虑组合意义，即有 n n n 个小球，选出 i i i 个小球的价值为 f ( i ) f(i) f(i) 。我们可以记 x j x^j xj 的系数的总和，最后再乘上 a j a_j aj 即可。
于是考虑 dp \text{dp} dp ： f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示前i个小球， x j x^j xj 的系数总和。考虑转移：若 i i i 不选，则 f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j]=f[i-1][j] f[i][j]=f[i−1][j] ；若 i i i 选，则考虑到 ( x + 1 ) j = ∑ k = 0 j ( j k ) x k (x+1)^j=\sum_{k=0}^j \binom{j}{k}x^k (x+1)j=∑k=0j(kj)xk ，所以 f [ i ] [ j ] = ∑ k = 0 j ( j k ) f [ i − 1 ] [ k ] f[i][j]=\sum_{k=0}^j \binom{j}{k}f[i-1][k] f[i][j]=∑k=0j(kj)f[i−1][k] 。
发现可以 exp \text{exp} exp ，故效率为 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn) 。
注意到取对数的多项式中常数项不是 1 1 1 ，但是特判一下即可。
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