【运筹】0319_单纯形法对偶理论
材料： Introduction to Operation Research 清华大学出版社
目录
- 单纯形法的实质（几何）
- 构建单纯形法（代数）
- 对偶理论的实质
- 对偶性的应用
单纯形法的实质（几何）
如图的问题有六个角点可行解（CPF corner-point feasible solution)，也就是可行域的六个顶点。 对于含有n个决策变量的LP问题而言，当两个CPF解位于n-1条相同的约束边界上是，他们是相邻的（这里n=2)
最优性检验：对于一个CPF解，如果没有比他更好的相邻CPF解，那么它就是最优解
求解步骤：从原点开始Z=0, 两个相邻解都优于它 -> 移动至较优的CPF解(0,6) ，有相邻解优于它 -> 移动至较优的CPF(2,6) -> 通过最优性检验，结束。
构建单纯形法（代数）
通过松弛变量(slack variables)把不等式约束化为等式约束
基本解：是一个扩展后的角点解，即加入松弛变量取值后形成的解。解(3,2)的扩展解是 (3,2,1,8,5）
自由度：变量个数 - 方程个数 = 5 - 3 = 2， 表示可任选2个变量来赋予任意数值，可根据此求解这3个方程得出其余3个变量的值。单纯形法把任意值设为0, 3个方程对其他3个变量的联力解就是基本解。
如(0,6,4,0,6)这个解中， x 1 x_1 x1、 x 4 x_4 x4就是非基变量， x 2 x_2 x2、 x 3 x_3 x3、 x 5 x_5 x5就是基变量。对可行性的要求是所有变量必须为非负
单纯形法的代数解释如下图右栏：
第一次迭代前，如何判断应该增加 x 1 x_1 x1还是 x 2 x_2 x2？
是根据目标函数中的系数， x 1 x_1 x1的增长率为3， x 2 x_2 x2的增长率为5，所以把 x 2 x_2 x2作为迭代1的入基变量。
第一次迭代时，如何判断在何处停止？通过最小比值试算
x 3 = 4 ≥ 0 x_3 = 4 \ge 0 x3=4≥0 -> 对 x 2 x_2 x2没有上限限制
x 4 = 12 − 2 x 2 ≥ 0 x_4 = 12 - 2x_2 \ge 0 x4=12−2x2≥0 -> x 2 ≤ 6 x_2 \le 6 x2≤6
x 5 = 18 − 2 x 2 ≥ 0 x_5 = 18 - 2x_2 \ge 0 x5=18−2x2≥0 -> x 2 ≤ 9 x_2 \le 9 x2≤9
所以 x 2 x_2 x2只能增加到6，同时 x 4 x_4 x4降为零， x 4 x_4 x4是当前迭代的出基变量
改造非标准模式的约束(等号或大于等于号) ： 大M法、两阶段法
转化为
对偶理论的实质
· 原问题目标函数的系数是对偶问题约束方程的右端项
· 原问题约束方程的右端项是对偶问题目标函数的系数
| 一个问题 | 另一个问题 |
|---|---|
| 约束 i i i | 变量 i i i |
| 目标函数 | 约束右端项 |
· 弱对偶性：如果 x x x是原问题的一个可行解， y y y是对偶问题的一个可行解，则有 c x ≤ y b cx \le yb cx≤yb
· 强对偶性：如果 x ∗ x^* x∗是原问题的一个最优解， y ∗ y^* y∗是对偶问题的一个最优解，则有 c x ∗ = y ∗ b cx^* = y^*b cx∗=y∗b
当两个问题中有一个不是最优解，或者两个都不是最优解，会有 c x < y b cx < yb cx<yb，而当两个都是最优解是，则是等于的关系。在每一步的迭代中，单纯形法找到这个两个问题的一对特殊解，原问题的解是可行的，对偶问题的解是不可行的（最终迭代除外）
· 互补解特性：单纯形法迭代过程中，为原问题生成一个cpf解x, 同时得到对偶问题的互补解y, 并且满足 c x = y b cx = yb cx=yb。如果x不是原问题的最优解，那么y不是对偶问题的可行解（连约束都不满足)
· 最优互补解特性：单纯形法迭代过程中，为原问题生成一个最优解 x ∗ x^* x∗, 同时得到对偶问题的一个最优互补解 y ∗ y^* y∗, 满足 c x ∗ = y ∗ b cx^* = y^*b cx∗=y∗b。
· 对称性：原问题和对偶问题的一切关系必定是对称的，因为对偶问题的对偶问题是原问题
· 对偶定理：
1. 如果一个问题拥有可行解和有界的目标函数（有最优解），那么另一个问题也有可行解和有界的目标函数。弱对偶行和强对偶性都是可用的
2. 如果一个问题拥有可行解但是目标函数无界（没有最优解），那么另一个问题没有可行解
3. 如果一个问题没有可行解，那么另一个问题或者没有可行解，或者有可行解但是目标函数无界。
对偶性的应用
单纯形法可以通过解答对偶问题为原问题找到一个最优解。
约束方程对单纯形法的计算过程的影响要远远大于变量个数的影响，所以如果原问题的变量个数少，约束方程多的话就可以转化成对偶问题求解，可以极大减少计算量；
如果计算出来的 c x − b y cx - by cx−by足够小，也可以接受这个方案而不用再继续计算
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