0、Abstract

主要研究问题：balanced connected k-partition problem $BCP_k$

问题描述：给定一个图 G = (V, E)，每个节点权重均非负（nonnegative），将节点集合V划分成 $\{V\}^k_{i=1}$ k个子集，使得每个子集都是G中的连通子图，权重最小的子集权重越大越好（with the minimum weight is as large as possible）。

贡献：对 $BCP_k$ 提出三种线性规划建模

（1）只包含 0-1变量，以及大量约束

其中约束对应的线性松弛可以在多项式时间内被分解（a potentially large number of constraints that can be separated in polynomial time in the corresponding linear relaxation）

（2、3）基于arc-flow建模，并且具有多项式个数的约束条件和变量

1、Introduction

[k] 表示集合 {1, 2, . . ., k}， k>=1 表示非空集

G 的 k-partition 也就是 $\{V_i\}_{i\in [k]}$ 的集合，其中所有子集的并集是 V的全集，子集间无交集，即

表示由 $V_i$ 产生的每个子图均是连接图

：为G中每个节点分配非负权重的函数

对于每个子集，

对于每个子图 H 使用表示子图权重，而不是

对于可行解集，使用表示 S 的凸包（convex hull）

Problem 1. Balanced Connected k-Partition (BCPk)

与之相对的还有，用来 minimizes

1.1、Some known results

unweighted BCPk (1-BCPk)：每个节点都是单位重量

（1）unweighted BCPk 在二分图（bipartite graphs，节点可以分成两个不相交的集合，使得任意集合内节点不相邻）在是 NP难问题

（2）BCP2 （节点带重量）在 grid graphs 上也是 NP难问题

（3）Chlebíková (1996) 4/3-approximation 求解 BCP 2

（4）Chen et al. (2020) 5/3-approximation 求解 BCP 3

3/2-approximation 求解min-max BCP3 on arbitrary graphs

（5）估计算法（Approximation）BCP4 on 4-connected graphs 或者 1-BCPk on special classes of graphs

（6）Wu (2012) fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS) for BCP2 on interval graphs

（7）Borndörfer, Elijazyfer, and Schwartz (2019) 使用 △-approximation 求解 max-min and min-max 两种问题，△ 是图G 中任意至支撑树的最大度（maximum degree of an arbitrary spanning tree），特别是max-min 中，将限制最大权重在内，

（8）Chataigner et al.(2007) 证明 BCPk问题不能估计比率高于 6/5的

2、Cut-based formulation

使用 ILP 对BCP 建模称为

假设 u 和 v 是两个在图G 中不相邻的连个点，定义是一个 (u,v)-separator，当 u 和 v 属于 G - S的两个部分。其中是 (u,v)-separator 中 点数最少的集合

约束：

（1）重量升序

（2）最多只属于一个集合

（3）如果u,v在同一集合 i 中，至少包括一个分割点

分析：

对于约束（2），可能导致部分点没有分配到任何一个集合，此时存在一个是G的k个连接子图，并且重量递增，使用贪婪策略，将未分配的节点放入某个与它相邻且已放入非空集合的节点的集合，每次都从距离为1的节点开始放起（部分节点的相邻节点可能也未分配）

定义，表示节点 v已经分配给集合 i ，其对应可行域的多面体被定义为：

下面是对模型的加强：

Proposition 1.

证明：

考虑极点

定义节点集合（已经分配在集合 i 的所有 v），当满足不等式（1）、（2），那么已经是G的子图的k个部分（可能有节点未选中，并不是全集），并且集合总重升序排列

证明 u 是一个connected k-subpartition：

反证法：假设存在一个 G[Ui]不是连接图，一定存在节点u v属于G中两个不同部分，因此存在 minimal (u,v)-separator S （没有连接的区域）使得，这与约束3是矛盾的

正向证明：对于G中的connected k-subpartition，每个局满足约束（1）（2），对于任意集合i 中的两个不相邻节点 u v ，一定会存在(u,v)-separator S 并存在，从而满足不等式3。

Proposition 2.

令 S 为 minimal (u,v)-separator，，

是G中包含点 z 使得u-v相连的最小权重路径（minimum-weight (u,v)-path）

提出以下约束：

证明：

取，，j 为集合{1...k} - {1... i-1}，最终得到索引从 i - k，于是得到：

由于集合总重递增，集合 i 重量均小于等于 i+1 - k 集合的总重，于是得到

为集合i 总重的上界（upper bound）

因此只要存在一个（Z是会超过上界的点需要排除），那么将满足约束（5）即形成连通图

Proposition 3.

本约束是从connected assignment problem收到启发，

定义是一个固定整数，S为G的一个顶点子集，包括q对不相邻节点（distinct pairs）

，并且对于对之间彼此不相邻（mutually disjoint），令N(S) 为集合 V \ S 内与S相邻的节点集合，为一个映射函数（injective function），

如果在G[S]中没有q组不相连路径的集合，那么下面不等式成立：

证明：

反证法：如果中存在一个极点违背了约束（6），

令以及

由约束（2）可得（部分点未分配集合），由于整体违背约束（6）那么（带入约束6推出），又因为满足约束（2）使得每个节点最多分配在一个集合，因此通过上下界确定

因此得到，N（S）的点均不属于索引值为 I 的集合（相邻点均不属于相同集合，那么这些集合均将被独立），于是每一个 I 对应的集合都准确对应q对不相邻点中的一对，因此在图G【S】中存在q组不相邻点的路径集合

3. Separation algorithms

3.1. Connectivity inequalities

问题：对于约束（3）这种连接约束，其分解问题（separation problem）为：给定向量，找到违背的约束，或证明这个向量满足所有约束

给定输入G = (V, E)，定义有向图节点容量为：使用为每条边分配重量，将每个节点都复制一份，

相应弧权重更新：

，节点之间的弧，节点内部的弧

为属于节点内部的弧，初始化为变量值，

分析：

对于任意不相邻节点 u,v 如果，将会在中找到minimum (u1,v2)-separating cut， 如果这种cut 的总重小于，那么将违背约束（5），

假设为 S，为 G - S 中 包含 u 的部分，下面将迭代对连接约束使用 lifting 从 S 中移除无效点：

（1）移除 S 中那些 邻点集合与无交集（intersect）的点，由于S 发生变化，使用 Union-Find 数据结构来更新检测点集合

（2）根据 Proposition 2.使用 Dijkstra’s algorithm 移除 S中的 Z（不在界内的路径）

时间复杂度：

分解连接约束的时间复杂度取决于查找最小割（minimum cut）的算法，本文使用 maximum flow Goldberg and Tarjan (1988)，时间复杂度为，对于最坏情况，分解算法的时间复杂度为

实际结果中分数解很少，因此对所有弧进行 arc contractions，即对其端点都设置为整数，比如，收缩为：，

收缩为：

3.2. Cross inequalities

现在在平面图（planar graphs）上对约束（6）进行分解，假设 F 为图中一个至少4个点的face，并且没有重复节点，按顺时针方向，记作，由于图是平面的，不应该包含两个不相邻节点的路径，如（会产生交叉！），如果此时对于约束（6），集合 S = V（不存在N（S）），那么有，这个被称为交叉不等式（cross inequalities）

本文使用方法复杂度在，使用方法为 Barboza (1997)

分解算法：

本节中，节点均在图F内，并且节点个数为，假设为一个分数解，先对于图上点按顺时针顺序从任意固定点遍历，对于每个定义为图中第 j 个顶点，并以 j 为中心在其左右分别对每个统计最大量，其中：

出 j = 1外，对于每个

为 前 j 项中两个递增项，，中

的最大值。对于，我们将判断

，从而判定是否有存在 交叉约束

注：其中 M 用来找到前 j - 1项中，可能存在的 i1,i2的最大值，第三项为 j 项属于 i1 的取值，最优一项为 j + 1项到最后属于 i2的值。加和起来为约束（6）判定式

4. Flow-based formulations

本节将 BCPk 的 MILP 问题以有向图的 flow进行建模

无向→有向变换：

（1）G中的每条边，都分成相同端点的两个相反方向的弧

（2）添加集合，用来表示不同集合的源点（source），并添加从S到G中所有节点的一条弧，

输出：节点集合：

弧集合：

输入：每条弧，非负流量，指示变量（）

表示集合A’中所有选中的边数：

约束（7）：各集合总重为非降序

约束（8）：流平衡约束，对于每个点，输入流的和 - 节点v 消耗量 = 输出流量

约束（9）：弧 a 是否被选中

约束（10）：每个源点 s 只能流向一个节点

约束（11）：每个节点只能流向一个节点

注：如果节点中包含重量为“0”的节点，可能会不接收到流量，这种情况归并到距离为“1”且已经归类的集合中，此时并且不会影响任何集合的总重。

总结：本方法共使用2nk + 4m（一半为0-1变量）个变量，对于 n 各节点，m条边，k个集合复杂度为

缺点：存在大量对称结，并依赖约束（9）对节点分配权重

改进方法：该模型考虑顶点的总顺序，以避免对称，并将分配给顶点的权重从有向图中循环的流（flow circulating）中解耦（uncouples）。

4.1 Asymmetric flflow-based formulation

定义：使用单个源点 s

使用顺序符号定义顺序

定义每个集合 i 通过边 a 的量

为集合 i 包括的节点，其子树为，具体为：

（1）其根节点为从 s传递过来的个流

（2）根节点将消耗一个流后继续向后传递

（3）最终叶节点接收一个单位流后结束

（4）通过定义 root 为最小顺序，来打破对称性（breaking symmetries）

、

同样定义，表示fa,i非空，

表示集合 A'内所有选中点的个数

令为 G中的 k个连接部分，可以得到

对于根节点在的子树，已知总流量，并且

即，根节点重量（顺序）最小

对于赋值函数，如果，证明 v是叶节点（末尾），其余的为，并且从源点s分到的总量是

现定义两变量 指示变量 ，重量变量

Proposition 4. 多面体就是原问题解空间

：v是G的k个连接部分

证明：

令(y, f) 为的一个极点，令，约束（15）保证每个集合 i 中，最多只有一条弧能离开源点s，因此每个都是 G的k个连接部分。

约束（16）保证每个节点v只能被输入一条弧，约束（18）表示只能从有弧的变量选择

约束（19、20）保证输入输出流来自同一集合并且只消耗一个单位流

反推：

已知是 G中的 k 个连接部分，且重量递增

令表示，，对于每个集合，的入度最多为“1”，其根节点为子树中的最小节点（对于顺序），

约束（16、17）保证对于其中的最小 u ，更高顺序的节点v 不会是承接 s的节点。

因此，满足约束（15）即每个节点发出一条弧。

5. Implementation details

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Partitioning a graph into balanced connected classes: Formulations,separation and experiments

0、Abstract

贡献：对 $BCP_k$ 提出三种线性规划建模

1、Introduction

Problem 1. Balanced Connected k-Partition (BCPk)

1.1、Some known results

2、Cut-based formulation

Proposition 1.

证明：

Proposition 2.

证明：

Proposition 3.

证明：

3. Separation algorithms

3.1. Connectivity inequalities

相应弧权重更新：

时间复杂度：

3.2. Cross inequalities

4. Flow-based formulations

4.1 Asymmetric flflow-based formulation

Proposition 4. 多面体就是原问题解空间

5. Implementation details

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相应弧权重更新：

时间复杂度：

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