【学习笔记】第五章 线性规划
目录
5.1 线性规划的概念和理论
1. 线性规划的一般模型
2. 线性规划解的概念及理论
3. 可转化为线性规划的问题
5.2 线性规划的Python求解
5.2.1 用scipy.optimize模块求解
5.2.2 用cvxopt.solvers模块求解
5.2.3 用cvxpy求解
5.3 灵敏度分析
5.4 投资的收益和风险
1. 问题提出
2. 符号规定和基本假设
3. 模型的建立与分析
5.1 线性规划的概念和理论
1. 线性规划的一般模型
上面的表达式中，第一个公式为目标函数，第二个公式为约束条件，其中 ,称其为价值向量（目标向量）；
称其为决策向量；
称其为资源向量；
称其为约束条件的系数矩阵；
（j=1,2,...,n）称其为约束条件的系数向量。
线性规划模型的标准型为：
2. 线性规划解的概念及理论
线性规划的基本点就是：在满足一定约束条件下使预定目标达到最优。
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量 称为可行解；
（2）可行域：全部可行解构成的集合；
（3）最优解：使目标函数达到最优值（最大或最小值，并且有界）的可行解
3. 可转化为线性规划的问题
5.2 线性规划的Python求解
5.2.1 用scipy.optimize模块求解
函数：linprog
注意：scipy中线性规划的标准型：
注意目标函数转化为求最小值（如果求最大值则等号两面加负号）
约束条件全部改成小于
例5.1 求解线性规划问题
from scipy.optimize import linprog
c = [-1, 4]
A = [[-3, 1], [1, 2]]#类似系数矩阵
b = [6, 4]#类似结果矩阵
bound=((None,None),(-3,None))#x,y取值范围
res=linprog(c,A,b,None,None,bound)
print("目标函数的最小值：",res.fun)
print("最优解为：",res.x)
所以所求问题的最优解为：x1=10,x2=-3，目标函数最优值为-22
例5.2 求下列线性规划问题
首化先为scipy标准型：
from scipy.optimize import linprog
c=[-1, 2, 3]; A = [[-2, 1, 1], [3, -1, -2]]
b=[[9], [-4]]; Aeq=[[4, -2, -1]]; beq=[-6]
LB=[-10, 0, None];
UB=[None]*len(c) #生成3个None的列表
bound=tuple(zip(LB, UB)) #生成决策向量界限的元组
res=linprog(c,A,b,Aeq,beq,bound)
print("目标函数的最小值：",res.fun)
print("最优解为：",res.x)
例5.3 食用油原料的月采购和加工计划
解：
所以得到线性规划模型：
转化为python标准型：
from scipy.optimize import linprog
c=[110, 120, 130, 110, 115,-150] #目标向量
A =[[1,1,0,0,0, 0],[0,0,1,1,1,0],[8.8,6.1,2.0,4.2,5.0,-6],[-8.8,-6.1,-2.0,-4.2,-5.0,3]]
b=[[200],[250],[0],[0]]; Aeq=[[1,1,1,1,1,-1]]; beq=[0]
res=linprog(c,A,b,Aeq,beq)
print("目标函数的最小值：",res.fun)
print("最优解为：",res.x)
5.2.2 用cvxopt.solvers模块求解
cvxopt.solvers模块求解线性规划模型的标准型如下：
例5.4 求解线性规划：
注意：整数数据也要转换为浮点数输入！
import numpy as np
from cvxopt import matrix, solvers
c=matrix([-4.,-5]); A=matrix([[2.,1],[1,2],[-1,0],[0,-1]]).T
b=matrix([3.,3,0,0]); sol=solvers.lp(c,A,b)
print("最优解为：\n",sol['x'])
print("最优值为：",sol['primal objective'])
例5.5 求解线性规划：
转化为标准型：
import numpy
from cvxopt import matrix, solvers
c=matrix([2.,1]); A=matrix([[-1.,1],[-1,-1],[1,-2],[0,-1]]).T
b=matrix([1.,-2,4,0]); Aeq=matrix([1.,2],(1,2)) #Aeq为行向量
beq=matrix(3.5); sol=solvers.lp(c,A,b,Aeq,beq)
print("最优解为：\n",sol['x'])
print("最优值为：",sol['primal objective'])
5.2.3 用cvxpy求解
例5.6 已知某种商品6个仓库的存货量，8个客户对该商品的需求量，单位商品运价如表5.4所示，试确定6个仓库到8个客户的商品调运数量，使总的运输费用最小。
5.3 灵敏度分析
研究某些数值的变化对最优值的影响
例5.7 一家奶制品加工厂用牛奶生产A, B两种奶制品,1桶牛奶可以在甲类设备上用12h 加工成3kg A,或者在乙类设备上用8h 加工成4kg B.假定根据市场需求,生产的A,B全部能售出,且每千克A获利24元,每千克B获利16元.
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天正式工人总的劳动时同为480h,升且甲类设备每天至多能加工100kg A,乙类设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下两个附加问题:
(1)若可以聘用临时工人以增加劳动时间,是否聘用临时工人.(2)假设由于市场需求变化,每千克A的获利增加到30元,是否改变生产计划.
from scipy.optimize import linprog
c=[-72, -64] #目标向量
A =[[1, 1],[12, 8]]; b=[[50],[480]]
bound=((0,100/3.0),(0,None))
res=linprog(c,A,b,None,None,bound,method='simplex',options={"disp": True})
print("求解结果如下：",res)
所以最优解为x1=20,x2=30，最大收益为3360元。
由于slack的两个分量都为0，所以两个约束条件都为紧约束，及最优解使不等式的约束条件达到了边界，约束条件实际上是等式约束，所以增加劳动时间会增加效益。
更改条件后：
from scipy.optimize import linprog
c=[-90, -64] #目标向量
A =[[1, 1],[12, 8]]; b=[[50],[480]]
bound=((0,100/3.0),(0,None))
res=linprog(c,A,b,None,None,bound,method='simplex',options={"disp": True})
print("求解结果如下：",res)结果不变（略）。
5.4 投资的收益和风险
1. 问题提出
2. 符号规定和基本假设
3. 模型的建立与分析
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