Bernoulli distribution 是最简单的单个二值随机变量的分布. 它由单个参数 ϕ∈[0,1]ϕ∈[0,1]\phi \in [0,1] 控制, 其中参数 ϕϕ\phi 给出了随机变量等于 111 的概率.

举个栗子

饮料拧开瓶盖只有两种状态, 谢谢惠顾=0,再来一瓶=1" role="presentation" style="position: relative;">谢谢惠顾=0,再来一瓶=1谢谢惠顾=0,再来一瓶=1\text{谢谢惠顾} = 0 , \text{再来一瓶} = 1, 其中中奖(再来一瓶)率就是ϕϕ\phi. 这就是生活中常见的二项分布.

一些性质

已知,

P(x=1)=ϕP(x=0)=1−ϕ,P(x=1)=ϕP(x=0)=1−ϕ,

P(\mathbb x = 1) = \phi \\ P(\mathbb x=0) = 1 - \phi,
则有,

E(x)=1×ϕ+0×(1−ϕ)=ϕVar(x)=(1−ϕ)ϕ+(0−ϕ)(1−ϕ)=ϕ(1−ϕ)E(x)=1×ϕ+0×(1−ϕ)=ϕVar(x)=(1−ϕ)ϕ+(0−ϕ)(1−ϕ)=ϕ(1−ϕ)

\mathbb E(x) = 1 \times \phi + 0 \times (1-\phi) = \phi \\ \text{Var}(x) = (1-\phi)\phi + (0-\phi)(1-\phi) = \phi (1-\phi), 特殊地, 我不是再来一整瓶, 我再来 x∈[0,1]x∈[0,1]x \in [0,1] 瓶的概率是,

P(x=x)=ϕx(1−ϕ)1−xP(x=x)=ϕx(1−ϕ)1−x

P(\mathbb x = x) = \phi ^x (1-\phi)^{1-x}

在 ML 中

在 ML 中, 二项分布通常用于 classification 中的二分类问题.

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