1. Dice loss 是什么?

Dice loss是Fausto Milletari等人在V-net中提出的Loss function，其源于Sørensen–Dice coefficient，是Thorvald Sørensen和Lee Raymond Dice于1945年发展出的统计学指标。这种coefficient有很多別名，最响亮的就是F test的F1 score。在了解Dice loss之前我们先谈谈Sørensen–Dice coefficient是什么。

回顾一下比较常听到的F1 score，统计学中有所谓的Sensitivity和Specificity，而机器学习（模式识别）则有Precision和Recall，它们的关系如下：

Truth\Classified	Positive	Negative
Positive	True Positive	False Negative
Negative	False Positive	True Negative

可看到Precision和Recall的主角都是被正确选择的那一群，分別用挑选总数(TP+FP)和正确总数(TP+FN)來评估正确的比例。F1 score便是想以相同权重(β=1)的Harmonic mean(调和平均)去整合這两个指标：

现在回到Sørensen–Dice coefficient的常见表现方式：

QS是Quotient of Similarity(相似商)，就是coefficient的值，只会介于0～1。Image segmentation中，模型分割出的mask就是影像的挑选总数，专家标记的mask就是正确总数。对应到公式便可知挑选总数(TP+FP)和正确总数(TP+FN)分別就是X和Y，交集便是TP，可見Dice coefficient等同F1 score，直观上是计算X与Y的相似性，本质上则同时隐含Precision和Recall两个指标。

谈完了coefficient，Dice loss其实就是它的顛倒。当coefficient越高，代表分割結果与标准答案相似度越高，而模型则是希望用求极小值的思維去训练比较可行，因此常用的Loss function有 "1-coefficient" 或 "-coefficient"。

2. Dice loss 实现

实现环境：

Windows 10
Python 3.6.4
- MXNet 1.0.1

因为是小测试就不用GPU了。公式中的交集在image segmentation中很好实现，因为通常标准答案的mask都是由0和1組成的，所以只要将两张mask作逐点乘积(Hadamard product)，也就是对应点相乘起來而不作向量內积，再加总起來就好了。因为False Positive跟Negative的情况就是其中一张mask值是0，所以在后续加总时会被排除。

另一个有趣的点是我在公式中加入了Laplace smoothing，也就是分子分母同時加1，這是启发自一个pytorch的issue comment。据他所說，Laplace smoothing可以减少Overfitting，我想是因為让整个coefficient值变大，让loss变小，就可以更快达到收敛，而避免過多的训练迭代。

from mxnet import nd
smooth = 1.
def dice_loss(y_pred, y_true):product = nd.multiply(y_pred, y_true)intersection = nd.sum(product)coefficient = (2.*intersection +smooth) / (nd.sum(y_pred)+nd.sum(y_true) +smooth)loss = 1. - coefficient# or "-coefficient"return(loss)

接著随机生成两个矩阵测试：

y_pred = nd.random.uniform(0, 1, (3,3))
y_true = nd.random.uniform(0, 2, (3,3)).astype('int8').astype('float32')
dice_loss(y_pred, y_true)
---------------------------------------------------------y_pred = [[0.38574776 0.08795848 0.83927506][0.21592768 0.44453627 0.10463644][0.8793516  0.65118235 0.5184219 ]]<NDArray 3x3 @cpu(0)>y_true = [[1. 0. 0.][0. 0. 0.][1. 1. 1.]]<NDArray 3x3 @cpu(0)>product = [[0.38574776 0.         0.        ][0.         0.         0.        ][0.8793516  0.65118235 0.5184219 ]]<NDArray 3x3 @cpu(0)>intersection = [2.4347036] <NDArray 1 @cpu(0)>coefficient = [0.64307916] <NDArray 1 @cpu(0)>
# no smooth : [0.59916145] <NDArray 1 @cpu(0)>loss = [0.35692084] <NDArray 1 @cpu(0)>
# no smooth : [0.40083855] <NDArray 1 @cpu(0)>

以上结果用计算机敲一敲就可以验证了，可以看到在有smooth的情況下，coefficient增大了而loss减少了，因此可以让神经网络更快收敛。

3. 后记

在2016年V-net开始使用后，Dice loss在2017年得到了一些进化，其中有篇文献实验比较了Dice loss和影像深度学习常用的Cross-entropy的性能，发现Dice loss在image segmentation真的表现比较好。

本文源自:鄭仕群

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Dice loss是什么

1. Dice loss 是什么?

2. Dice loss 实现

3. 后记

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