描述流体中声学物理现象的三个基本方程

流体介质是由气体和液体抽象出来的的介质模型。其力学特征是，介质中相互接触的质团间有相互作用力，接触面微元上的相互作用力，大小正比微元面积，方向垂直于接触面微元，如图（1）所示。因而，面元上的受力 $d\vec{f}$ 与 $d\vec{s}$ 间可用标量P联系： $d\vec{f}=-Pd\vec{s}$ ；这个标量P就是流体中的压强。流体的这个力学特征是流体中只存在纵波的原因。流体的另一个特征，是物质空间分布的连续性，即，介质中质团连续分布无间隙。作为传播声波的流体介质，还有一个性质，就是可压缩性，即，质团在压力的作用下会发生体积的变化，由于质团的质量没变，因而，在压力的作用下会引起质团的质量密度变化。以上就是‘流体’的含义。理想流体的‘理想’二字的含义是指流体介质中质团的机械运动无机械能损耗，即，质团间无耗散作用力。

图1：流体中面元ds受力示意图

本文将依据理想流体遵循的基本物理规律，得到声场中某个声学量的空间、时间变化规律相互联系的方程，即波动方程。波动方程在研究声学问题中具有重要意义，它在数学上的描述了介质中质团振动的传播过程，同时也是定量计算声学问题的基础。

推导波动方程的过程是，根据物理学三个基本定律：质量守恒定律、能量守恒定律和动量守恒定律（牛顿第二定律）；获得的流体中三个基本方程：连续性方程、状态方程和运动方程；在介质静止、均匀声波小振幅条件下，分布略去这三个基本方程中的二阶以上小量，获得三个任意两个基本声学量的线性关系方程；这三个线性关系方程联立，可得到任意一个基本声学量的波动方程。

连续性方程

依据质量守恒定律，推导出流体中的连续性方程；并在介质静止、均匀，声波小振幅条件下建立基本声学量 $\rho _{l}$ 和 $\vec{u}$ 之间的关系。

根据能量守恒定律，可推知，在连续介质中，如果流进与流出某一空间体积的流体质量不等，则必将引起改体积中介质密度的变化。

在介质中，任取一点 $M(x,y,z)$ ，以 $M$ 为中心作为一个立体框ABCDEFGH，其边长分别是dx,dy,dz，立体框包围的空间体积为 $dV=dxdydz$ ；间图2。分析介质流动引起立体框介质质量变化。

图2：推导连续性方程用示意图

设t时刻，介质质团流过M点的速度为 $\vec{U}(x,y,z,t)$ ，在直角坐标系下 $\vec{U}(x,y,z,t)$ 可以写为： $\vec{U}(x,y,z,t)=U_{x}(x,y,z,t)\vec{i}+U_{y}(x,y,z,t)\vec{j}+U_{z}(x,y,z,t)\vec{k}$ ；又若M点的密度为 $\rho (x,y,z,t)$ ；则，单位时间内流过M点且与流速 $\vec{U}$ 垂直的单位面积的介质质量，即M点的质量流通密度为： $\rho \vec{U}=(\rho U_{x}\vec{i}+\rho U_{y}\vec{j}+\rho U_{z}\vec{k})$ ；由此可知，单位时间内流出闭曲面S外的介质质量为：

式中 $d\vec{s}$ 取闭曲面S的外法线方向

（1）对流入流出立体框ABCDEFGH内质量的分析：

在dt时间段，通过x方向的两个面元ABCD与EFGH流出dxdydz框外的介质质量：先考虑dt时间段从ABCD面流出dxdydz框外的介质质量：

$\rho (x-\frac{dx}{2},y,z)\vec{U}(x-\frac{dx}{2},y,z).dydz(-\vec{i})dt=-\rho (x-\frac{dx}{2},y,z)U_{x}(x-\frac{dx}{2},y,z).dydzdt$ (1)

根据函数的微分关系，上式的 $\rho (x-\frac{dx}{2},y,z)U_{x}(x-\frac{dx}{2},y,z)$ 用函数 $\rho (x,y,z)U_{x}(x,y,z)$ 和坐标增量 $-\frac{dx}{2}$ 表示：

$\rho (x-\frac{dx}{2},y,z)U_{x}(x-\frac{dx}{2},y,z)=\rho (x,y,z)U_{x}(x,y,z)+\frac{\partial \rho (x,y,z)U_{x}(x,y,z)}{\partial x}(-\frac{dx}{2})$

所以，（1）式，即，dt时间段从ABCD面流出dxdydz框外的介质质量为：

$-[\rho (x,y,z)U_{x}(x,y,z)+\frac{\partial \rho (x,y,z)U_{x}(x,y,z)}{\partial x}(-\frac{dx}{2})]dydzdt$

再考虑dt时间段从EFGH面流出dxdydz框外的介质质量：

$\rho (x+\frac{dx}{2},y,z)\vec{U}(x+\frac{dx}{2},y,z)dydz\vec{i}dt=[\rho (x,y,z)\vec{U}(x,y,z)+\frac{\partial \rho (x,y,z)\vec{U}(x,y,z)}{\partial x}(\frac{1}{2}dx))]dydzdt$

得dt时间段，通过x方向两个面元ABCD与EFGH流出dxdydz框外的介质质量为：

$\frac{\partial( \rho U_{x})}{\partial x}dxdydzdt$ (2)

用类似的推导过程，可得再dt时间段，通过y方向两个面元AEHD与BFGC流出dxdydz框外的介质质量：

$\frac{\partial( \rho U_{y})}{\partial y}dxdydzdt$ (3)

同样，可得再dt时间段，通过z方向两个面元AEFB与DHGC流出dxdydz框外的介质质量：

$\frac{\partial( \rho U_{z})}{\partial z}dxdydzdt$ (4)

所以，dt时间段，介质质团的速度 $\vec{U}(x,y,z,t)$ 引起的dxdydz框中介质质量的增加为：

$-(\frac{\partial( \rho U_{x})}{\partial x}+\frac{\partial( \rho U_{y})}{\partial y}+\frac{\partial( \rho U_{z})}{\partial z})dxdydzdt$ (5)

（2）连续性方程

dxdydz框没有变，质量的变化改变了dxdydz框内介质的密度，据质量守恒：

$[\rho(x,y,z,(t+dt))-\rho(x,y,z,t)]dxdydz=-(\frac{\partial( \rho U_{x})}{\partial x}+\frac{\partial( \rho U_{y})}{\partial y}+\frac{\partial( \rho U_{z})}{\partial z})dxdydzdt$

等式两边同除dt得，连续性方程：

$\frac{\partial \rho( x,y,z,t) }{\partial t} = -(\frac{\partial( \rho U_{x})}{\partial x}+\frac{\partial( \rho U_{y})}{\partial y}+\frac{\partial( \rho U_{z})}{\partial z})dxdydzdt$ (6)

取哈密顿算子：

$\bigtriangledown =(\vec{i}\frac{\partial }{\partial x},\vec{j}\frac{\partial }{\partial y},\vec{k}\frac{\partial }{\partial z})$ (7)

$\bigtriangledown \cdot \vec{A}$ 称作矢量场 $\vec{A}$ 的散度。

则连续性方程也可以表示为：

$\frac{\partial \rho( x,y,z,t) }{\partial t} = -\bigtriangledown \cdot [\rho (x,y,z,t)\vec{U}(x,y,z,t)]$ (8)

结论，连续性方程文字表述为：质量密度的时间导数等于质量流通密度的散度负值。

（3）均与、静止理想流体小振幅波的连续性方程

根据声学量的定义，有：

$\rho =\rho _{0}+\rho _{l}$

$\vec{U} =\vec{U} _{0}+\vec{u}$

均匀的含义是指： $\rho _{0}$ =常数

静止的含义是指： $\vec{U} _{0}=0$

小振幅波的含义是指：小振幅波的声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。

由连续性方程： $\frac{\partial \rho( x,y,z,t) }{\partial t} = -\bigtriangledown \cdot [\rho (x,y,z,t)\vec{U}(x,y,z,t)]$

得： $\frac{\partial (\rho_{0}+\rho_{l}) }{\partial t} = -\bigtriangledown \cdot [ (\rho_{0}+\rho_{l}) (\vec{U}_{0}+\vec{u})]$ (9)

$\Rightarrow \frac{\partial \rho_{l} }{\partial t} = -\rho_{0}\bigtriangledown \cdot \vec{u}-\vec{u}\cdot \bigtriangledown \rho_{l} - \rho_{l}\bigtriangledown \cdot \vec{u}$ (10)

略去二阶小量项， $\vec{u}\cdot \bigtriangledown \rho_{l}$ 和 $\rho_{l}\bigtriangledown \cdot \vec{u}$ ；得均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方程为：

$\frac{\partial \rho_{l} }{\partial t} = -\rho_{0}\bigtriangledown \cdot \vec{u}$ (11)

状态方程

依据热力学定律，建立 $\rho \sim \rho _{l}$ 关系。

声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密度和压强都发生变化。根据热力学定律，质量一定的理想流体，独立的热力学参数只有三个。例如，取热力学参数；压力P、密度 $\rho$ 及熵值s，则有关系： $P=P(\rho ,s)=f(\rho ,s)$

如果，在声波作用下，P经‘等熵过程’，从 $P_{0}(\rho_{0},s_{0} )\rightarrow P(\rho,s_{0} )$ ，则在 $(\rho_{0},s_{0} )$ 点作 $P(\rho,s_{0} )$ 幂级数展开，有：

$P(\rho,s_{0} ) = P_{0}(\rho_{0},s_{0} )+\frac{\partial }{\partial \rho }|_{\rho_{0},s_{0}}(\rho-\rho_{0}) + ...... \frac{1}{n!}\frac{\partial ^{(n)}}{\partial \rho^{(n)} }|_{\rho_{0},s_{0}}(\rho-\rho_{0}) ^{n}+......$ (12)

$\Rightarrow P(\rho,s_{0} ) - P_{0}(\rho_{0},s_{0} )=\frac{\partial }{\partial \rho }|_{\rho_{0},s_{0}}(\rho-\rho_{0}) + ...... \frac{1}{n!}\frac{\partial ^{(n)}}{\partial \rho^{(n)} }|_{\rho_{0},s_{0}}(\rho-\rho_{0}) ^{n}+......$

$\Rightarrow p(\rho,s_{0} )=\frac{\partial }{\partial \rho }|_{\rho_{0},s_{0}}(\rho-\rho_{0}) + ...... \frac{1}{n!}\frac{\partial ^{(n)}}{\partial \rho^{(n)} }|_{\rho_{0},s_{0}}(\rho-\rho_{0}) ^{n}+......$ (13)

如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。对（13）式略去高阶小量得： $p=(\frac{\partial f}{\partial \rho })_{\rho_{0} s_{0}}\rho _{l}$

定义 $c_{0}\equiv \sqrt{(\frac{\partial P(\rho ,s))}{\partial \rho })_{\rho_{0} s_{0}}}$ 为介质的等熵波速。它是介质的固有性质。在MKS制中，基本单位：m/s

所以，得到理想流体中小振幅波的状态方程可表示为：

$p=c_{0}^{2}\rho _{l}$ (14)

运动方程

根据牛顿第二定律，建立 $p\sim \vec{u}$ 关系。

（1）质量微团受力分析

设流体介质中压强为 $P(x,y,z,t)$ ，在介质中取质量微团ABCDEFGH六面体，边长分别为dx,dy,dz，分析其受力，即周围流体对该六面体的压力。在推导连续性方程时，选择固定在空间不动的框架微元，分析由于介质流动引起的框架微元介质密度的变化；而在推导运动方程时，选取的是介质的质量微团，分析声波作用下它的受力及其运动。如图（3）所示，设介质质点的速度分布函数为 $\vec{U}(x,y,z,t)$ ，压强分布为 $P(x,y,z,t)$ ；介质质量微团所受周围流体的作用力在x方向的分力只作用在ABCD面和EFGH面上；作用在ABCD面和EFGH面上的压力分别为：

$\vec{f}_{x1}=-P(x-\frac{dx}{2},y,z)dydz(-\vec{i})=[P(x,y,z,t)+\frac{\partial P(x,y,z,t)}{\partial x}(-\frac{dx}{2})]dydz\vec{i}$ (15)

$\vec{f}_{x2}=-P(x+\frac{dx}{2},y,z)dydz\vec{i}=-[P(x,y,z,t)+\frac{\partial P(x,y,z,t)}{\partial x}(\frac{dx}{2})]dydz\vec{i}$ (16)

可得，质量微团所受x方向合理为：

$\vec{F}_{x}=\vec{f}_{x1}+\vec{f}_{x2}=-\frac{\partial P(x,y,z,t)}{\partial x}dxdydz\vec{i}$ (17)

同理，质量微团所受y方向合力为：

$\vec{F}_{y}=-\frac{\partial P(x,y,z,t)}{\partial y}dxdydz\vec{j}$ (18)

同理，质量微团所受z方向合力为：

$\vec{F}_{z}=-\frac{\partial P(x,y,z,t)}{\partial z}dxdydz\vec{k}$ (19)

利用哈密顿算子， $\bigtriangledown =(\vec{i}\frac{\partial }{\partial x},\vec{j}\frac{\partial }{\partial y},\vec{k}\frac{\partial }{\partial z})$ 表示质量团受到的合力：

$\vec{F}=-\bigtriangledown P(x,y,z,t)dxdydz$ （20）

图3：推导运动方程用示意图

（2）质量微团的运动方程

根据牛顿第二定律，质量微团的运动方程为：

$\rho dxdydz\frac{d\vec{U}}{dt}=\vec{F}=-\bigtriangledown Pdxdydz$

$\Rightarrow \rho \frac{d\vec{U}}{dt}=-\bigtriangledown P$ (21)

（3）均匀、静止理想流体小振幅波动运动方程

介质均匀，无声波时介质压强 $P_{0}=$ 常数 $\Rightarrow \bigtriangledown P(x,y,z,t)=\bigtriangledown p(x,y,z,t)$

介质静止，无声波时介质流速 $U_{0}=0\Rightarrow \frac{d\vec{U}(x,y,z,t)}{dt}=\frac{d\vec{u}(x,y,z,t)}{dt}$ (22)

所以，有式（21）和式（22），得： $\rho \frac{d\vec{u}}{dt}=-\bigtriangledown p$ (23)

$\frac{d\vec{u}}{dt}$ 是质团的加速度。根据多元函数微分关系，有：

$\frac{d\vec{u}(x,y,z,t)}{dt}=\frac{\partial \vec{u}(x,y,z,t)}{\partial t}+(\vec{u}(x,y,z,t)\cdot \bigtriangledown )\vec{u}(x,y,z,t)$ (24)

注： $\frac{\partial \vec{u}}{dt}$ ，本地加速度； $(\vec{u}\cdot \bigtriangledown )\vec{u}$ 迁移加速度

对于小振幅波，声学量和声学量的各阶时间导数和声学量各阶空间导数均为一阶小量。对（24）式，略去高阶小量，得：

$\frac{d\vec{u}(x,y,z,t)}{dt}=\frac{\partial \vec{u}(x,y,z,t)}{\partial t}$ (25)

由（23）和（25）得：

$\Rightarrow \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=-\bigtriangledown p\Rightarrow (\rho _{0}+\rho _{l})\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=-\bigtriangledown p$ (26)

$\Rightarrow \rho _{0}\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=-\bigtriangledown p$ （ $\rho _{l}\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}$ ，高阶小量略去） (27)

得到，均匀、静止理想流体中小振幅的运动方程为：

$\rho _{0}\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=-\bigtriangledown p$ (28)

此式可称为欧拉公式。