离散数学之集合论

文章目录

离散数学之集合论
- 使用的书籍
- 写作的目的
- 集合
- - 概念
  - 集合的基本性质
  - 集合的表示
  - - 枚举法
    - 叙述法
    - 归纳法
    - 递归指定集合法
    - 文氏图解法
  - 集合和元素的关系
  - 集合与集合的关系
  - 几个特殊的集合

使用的书籍

《离散数学及其应用》（第3版）傅彦等编著。

写作的目的

为了记录学习离散数学的过程。写下自己理解的离散数学，就是为了边学习边记录就比较有意思。个人水平有限，文章中有错误的地方，大家可以指出来。然后我主要写的也是我理解的，课本上的带一下就行，如果把课本上的也写下来，那你还不如直接看课本。

集合

英文单词是set。从高中的时候就认识了集合，那个时候的集合学得比较简单，现在到了大学，重新学习这个集合。其实也没多大差别。

概念

课本上的：

集合是不能精确定义的基本数学概念

集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成的

我自己理解的：

集合是一个数学容器，容器中存放的是有共同性质的元素。其中元素可以是数字也可以是其他物体。

例子：

等下遇到的容器说的都是集合，在我看来，集合就是容器，但是容器不一定是集合。毕竟是学过数据结构的，容器除了集合还有很多，比如链表，数组，栈，队列等，这些都是容器。

1）中国所有的真皮沙发

现在就有一个容器，这个容器存放的是沙发，这种沙发具有的性质是（中国的，所有的，真皮的），三个性质取交集形成当前容器中沙发的性质

2）所有的海鸥

现在有一个容器，这个容器存放的是海鸥，这种海鸥具有的性质是（所有的），也就是只要一个对象是海鸥，那这个对象就被包含在这个容器中

3）在-1和1之间的所有有理数

理解一：现在有一个容器，这个容器存放的是有理数，这种有理数具有的性质是（所有在-1到1的区间中的），满足这一性质的有理数就可以放在同一个集合（容器）。
理解二：现在有一个容器，这个容器存放的是数，这种数具有的性质是（所有在-1到1去区间中的，有理的），满足这一性质的数就可以放在同一个集合（容器）

4）全体亚洲人

现在有一个容器，这个容器存放的是人，这种人具有的性质是（全体的，亚洲的），同时满足这两个性质的人就可以存放在一个集合中。

5）中国高等学校开设的所有课程

现在有一个容器，这个容器存放的是课程，这种课程具有的性质是（中国的，高等学校的，开设的，所有的）。满足这几个性质的交集的课程就可以存放到一个容器中了。

6）天安门广场所有的路灯和树

现在对象有两个，一个是路灯，一个是树，所以这里存在一个”或“的关系，也就是可以理解成现在有一大容器，大容器里面存放的是两个小容器，一个容器存放的是，在天安门所有的路灯；另一个容器存放的是天安门所有的树。然后这两个小容器取并集就是这个大容器了。

7）所有C语言中的标识符

现在有一个容器，这个容器存放的是标识符，这种标识符的性质是（C语言的，所有的），C语言标识符的性质（英文字母和数字和下划线的组合，不能是数字开头，不能是系统预定义的），满足这些条件的标识符就可以放在同一个容器中。

8）全体素数

现在有一个容器，这个容器存放的是数字，这种数字的性质是（全体的，满足因子只有1和自身的），满足这样性质的数字就是可以放在一个容器当中。

后面还有两个例子，和第8个差不多。

指定范围内的每一个对象称为这个集合的元素

一般使用英文字母大写表示集合，用英文字母小写表示元素。

集合的基本性质

这个在高中的时候就学过了的，如果忘了就当作是复习了，集合有三个基本性质：

确定性
互异性
无序性

确定性说的就是，集合中的元素一定要是确定的，不能把一个不确定的东西放在集合中。

互异性说的就是，集合中的元素不重复，如果重复了就只保留其中的一个，其他的删掉。

无序性说的就是，集合中的元素没有顺序要求，数字类的可以从大到小排，也可以从小到大排，或者是乱七八糟的放，也行，一点问题没有。不是数字类的也是一样，爱怎么放就是怎么放，反正放了就是了。

集合的表示

表示集合有多种方法：课本上介绍了5种：

枚举法
叙述法
归纳法
递归指定集合法
文氏图解法

枚举法

枚举法又被称为显示法。意思很明显了，就直接暴力枚举，如果能知道集合中的所有元素的的样子就直接一一列举出来。如果只是知道一部分，那就写出来几个然后看它们又什么规律，然后直接按规律写使用…表示当前集合中的元素们存在这样的规律。

例子：

1）A={a,b,c,d};

因为集合A中就只有4个元素，元素是字母类型的，而且我们知道字母的样子，那就可以直接列举出来。

2）B={2,4,6,8,…,2n,…};

因为集合B中的元素我们是可以知道规律的，但不知道有多少个。那就可以使用省略号的方式列举出来，告诉看的人，我这个集合是偶数，每个元素都是2的倍数。

从计算机的角度看，显示法是一种”静态“表示法。静态意味着比较占内存，栈区的内存是有限的，当前堆区的内存也是有限的，但是堆区的内存比栈区的大很多倍。

叙述法

通过刻画集合中元素所具备的某种特性来表示集合的方法称为叙述法。

叙述法也被称为隐式法。

简单点说：叙述法就是对集合中的元素做一个描述，意为满足这一描述的元素属于该集合。

从定义中得，使用叙述法表达集合的写法：

集合名={元素|元素的描述}

例子：

1）M={m|m是美女}

那就表示了，如果m是美女m就属于集合M。如果m不是美女就不属于集合M。再白话一点吧。现在规定Alice是美女，Jack是帅哥。那么把Alice代入m，就变成Alice是美女，满足，所以Alice属于集合M。把Jack代入m，就变成Jack是美女，不满足，因为前面已经规定Jacke是帅哥，所以Jack肯定不是美女了，所以Jack不属于集合M。

2）A={x|x是discrete mathematics中的所有字母}

根据集合的互异性得集合A={d,i,s,c,r,e,t,m,a,h}.然后从外界代入元素x，如果x是r，那x就属于集合A，如果x是p，那x就不属于集合A。因为在集合A中r是属于A的，而p不属于A。

3）Z={x|x是一个整数}

和第一例子一样，从外界代入，现在规定y=8，把y代入x，那就是判断y是不是一个整数，如果是，则y属于集合Z。如果不是，则y不属于集合Z。很明显y=8，8是整数，所以y属于集合Z。

上一个C语言代码：

#include <stdio.h>int isInt(double y)
{int a=(double)y;  //截取整数部分return y-a?0:1;     //原来的数减去它的整数部分，如果有剩余则不是整数，如果没剩余则是整数
}int main()
{double y;printf("请输入一个整数");scanf("%lf",&y);if(isInt(y))printf("%f是整数",y);elseprintf("%f不是整数",y);return 0;
}

叙述法的特点在于所表示的集合的元素可以是很多个或无穷个，而且从计算机的角度看，叙述法是一种”动态“的表示法，计算机处理数据的时候不用占据大量栈区的内存。

归纳法

归纳法是只通过归纳定义集合的方法，主要有以下三部分组成：

基础，指出某些最基本的元素属于集合

归纳，指出由基本元素构造新元素的方法

极小性，指出该集合的界限

第一部分和第二部分指出的是一个集合至少要包含的元素，第三部分指出一个集合至多哟啊包含的元素。

多看一遍课本之后，我的理解是，由第一部分和第二部分确定元素大概长什么样之后，然后就一直循环组合这些大大小小的元素，然后就得到最终的集合是从一开始的一两个元素的组成的元素，到多个元素组合的元素。

就是你原来只有0和1，那么组合一次之后形成新的元素00,01,10,11,000,001,010,100等。然后到第三部分得出最终的集合结构为{0,1,00,10,01,11,000,001,010,100,011,110,111,0000,0001,…,…}.这样子的。这部分的也不知道对不对，如果错了就帮忙纠正一下。

递归指定集合法

递归指定集合法是指通过计算规则定义集合中的元素的方法

简单点说就是，确定前面的元素后，后面的元素和前面的元素存在一个特定关系，一直往后延申，总之就是前后存在一个特殊关系的集合表示法

例子：

a(0)=1,a(1)=2*a(0),a(2)=2*a(1),…a(n)=2*a(n-1),n>1,S={a(0)，a(1)，a(2)，…，};试着写出集合S的所有元素。事实上写完是不可能的，只能通过枚举法显示。根据数列的规律得集合S={1,2,4,8,…,2^n,…} (n>=0)

文氏图解法

就是高中所学的韦恩图。就是将集合区域化，使用图形描述出来。一般使用方形和椭圆形画集合，然后在大集合里面又有小集合这种类型的表示方法就是文氏图解法。

集合和元素的关系

元素和集合之间的”属于“关系是”明确的“。

对于某个集合A和元素a来说，只有a属于A，或者a不属于A，两个说法。

a属于A记作：a∈A
a不属于A记作：a∉A

在离散数学中，仅仅对界限清楚、无二义性的描述进行讨论，而由不清楚的对下个构造的集合属于模糊集合论的研究范畴。

集合与集合的关系

相等关系：如果两个集合的元素是一样的，则这两个集合是相等的。

包含与被包含关系：如果集合A的元素在集合B中都能找到得到，则说明集合A是集合B的子集。这个时候是B包含A或者说A含于B。在B包含A的前提下，如果A不包含B，则说明A是B的子集，但B不是A的子集；如果A包含B，则说明A和B相互包含，则这两个集合是相等的。

真子集：设A，B是任意的集合，如果A包含B，并且A不等于B，则B是A的真子集。

几个特殊的集合

空集：

不含有任何元素的集合称为空集。记作∅

空集是客观存在的

例子：

设A={x|x∈R且x^2<0}

因为在实数范围内，x的平方肯定是大于等于零的，不肯小于零，所以集合A为空集。

定理：

空集是一切集合的子集
空集是唯一的

全集：

在一个相对固定的范围内，包含此范围内所有元素的集合，称为集合。

定理：

全集是相对唯一的

因为全集本来的意思所的就是全部包含的意思，但是全集的范围却是人为规定的，你说地球是全集，那整个银河系是什么？如果你说银河系是全集，那整个宇宙是什么？宇宙外面还有更大的空间。依次类推。所以全集是相对来说的。

基数：

集合A中的元素个数称为集合的基数，记作|A|

这个好理解，就是相当于数组长度一样。集合中有多少个元素|集合名|就有多少。

public class Demo{public static void main(String[] args){int[] arr={5,2,4,63,4,6};      //有6个元素System.out.println(arr.length);  //输出6}
}

如果一个集合的基数是有限的，则称该集合是有限集。

如果一个集合的基数是无限的，则称该集合是无限的。

例子：

1）A=∅；

|A|=0，因为空集是不包含任何元素的集合，所以空集的基数为零，所以A的基数为零。

2）B={∅}；

|B|=1，因为B集合是包含空集这个元素，所以B的基数为1。

注意这两个题，挺重要的概念，思路要理得过来。

3）C={a,b,c}；

|C|=3，因为C有三个元素

4）D={a,{b,c}}；

|D|=2，由后面的{b,c}可以推断得出，集合D存放的元素是集合。所以a也当作是集合，所以D的基数为2

定义：

如果一个集合A含有n个元素，则称集合A为n元集，称A的含有m个元素（m<=n）的子集为它的m元子集。

设A为任意集合，把集合A的所有不同的子集构成的集合称为A的幂集。

符号化：P（A）={x|x⊆A}

例子：

1）P（∅）

p（∅）={∅}，因为空集没有子集了

2）p（{∅}）

p（∅）={∅，{∅}}，因为{∅}也是一个含有∅的集合，它的基数为1，它的子集是空集，而{∅}本身也是p（∅）的子集，所以p（∅）的幂集显而易见。

3）p（a,{b,c}）

p(a,{b,c})={{a},{b},{c},{b,c},{a,{b,c}}}，把内部的拆开。a变成{a};{b,c}可以拆成{b},{c}；然后最后和起来，记得把拆的子集的本身也要加过来。

Cukor丘克主页，欢迎来访！！！