数学辨异 —— 泰勒展开与等比数列求和

2024-05-15 19:29:00

11−x

\frac{1}{1-x}

1. 泰勒展开

根据：

(1+z)α=1+αz+α(α−1)2!z2+α(α−1)(α−2)3!z3+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+⋯,|z|<1

\left(1+z\right)^\alpha=1+\alpha z+\frac{\alpha\left(\alpha-1\right)}{2!}z^2+\frac{\alpha\left(\alpha-1\right)\left(\alpha-2\right)}{3!}z^3+\cdots+\frac{\alpha\left(\alpha-1\right)\cdots\left(\alpha-n+1\right)}{n!}z^n+\cdots,\quad\left|z\right|

所以有：

11−x===(1+(−x))−11+x+(−1)(−2)2!(−x)2+(−1)(−2)(−3)3!(−x)3+⋯1+x+x2+x3+⋯

\begin{split} \frac{1}{1-x}=&\left(1+(-x)\right)^{-1}\\ =&1+x+\frac{(-1)(-2)}{2!}(-x)^2+\frac{(-1)(-2)(-3)}{3!}(-x)^3+\cdots\\ =&1+x+x^2+x^3+\cdots \end{split}

2. 等比数列

1+x+x2+…=11−x,|x|<1

1+x+x^2+\ldots = \frac{1}{1-x}, \quad |x|

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