法向量和梯度的关系

先给出结论：曲面法向量是三元函数的梯度，曲线法向量是二元函数的梯度

w=F(x,y,z)w = F(x,y,z)w=F(x,y,z)是一个三元函数，w=0w = 0w=0时表示一个等高面(曲面)，对其两边全微分得到∂F∂xdx+∂F∂ydy+∂F∂zdz=0\dfrac{\partial F}{\partial x}dx+\dfrac{\partial F}{\partial y}dy+\dfrac{\partial F}{\partial z}dz = 0∂x∂Fdx+∂y∂Fdy+∂z∂Fdz=0进一步可以写成(∂F∂x,∂F∂y,∂F∂z)⋅(dx,dy,dz)=0(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z})·(dx,dy,dz) = 0(∂x∂F,∂y∂F,∂z∂F)⋅(dx,dy,dz)=0两个向量相互正交，由于(dx,dy,dz)(dx,dy,dz)(dx,dy,dz)是曲面的切向量，那么(∂F∂x,∂F∂y,∂F∂z)(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z})(∂x∂F,∂y∂F,∂z∂F)一定是曲面法向量，同时它还是w=F(x,y,z)w = F(x,y,z)w=F(x,y,z)的梯度。

值得注意的是，梯度是一个多元函数变化最快的方向(或者说梯度是方向导数取最大时的方向)，在三元函数中，梯度grad www指向的是www变化最快的方向，而非zzz变化最快的方向。

很多初学者对梯度这一概念理解不到位，会将这里的梯度误以为指向zzz变化最大的方向，画出一个曲面，同时画出它的法向量，发现法向量指向并不是zzz变化的方向。
这是因为，梯度是对于函数来说的，三元函数即三个自变量，其函数值是www,因而grad www指向的是www变化最快的方向。

But!如果是一个二元函数z=F(x,y)z = F(x,y)z=F(x,y),其梯度grad zzz指向的就是zzz变化最快的方向

由以上分析，我们应该从法向量与梯度的关系中更直观的认识梯度：

二元函数的梯度是曲线(等高线)的法向量，法向量是二维的。
三元函数的梯度是曲面(登高面)的法向量，法向量是三维的。

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