线性代数与解析几何——Part3 线性空间线性变换

线性代数与解析几何——Part3 线性空间 & 线性变换
- 1. 线性空间
  - 1. 数组空间 & 线性关系
  - 2. 秩
  - 3. 子空间、基与维数
  - 4. 一般线性空间
  - 5. 同构
- 2. 线性变换
  - 1. 定义 & 性质
  - 2. 矩阵表达
  - 3. 矩阵的相似
  - 4. 特征值 & 特征向量
  - 5. 相似对角化

1. 线性空间

1. 数组空间 & 线性关系

首先，我们给出数组空间的定义如下：

定义5.1.1
数域 F F F上的一个 n n n维数组向量 a \bold{a} a是一个有序的 n n n元数组
a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) \bold{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) a=(a1,a2,...,an)
其中 a i ∈ F a_i \in F ai∈F， i = 1 , 2 , . . . , n i=1,2,...,n i=1,2,...,n，称为向量 a \bold{a} a的第 i i i个分量。 F F F上的 n n n维数组向量的全体称为 n n n维数组空间，记为 F n F^{n} Fn。

对于数组空间当中的一组向量，我们可以定义线性组合如下：

定义5.1.2
给定一组向量 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n} a1,a2,...,am∈Fn及一组数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m ∈ F \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m \in F λ1,λ2,...,λm∈F，则称和式
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + . . . + λ m a m \lambda_1 \bold{a_1} + \lambda_2 \bold{a_2} + ... + \lambda_m \bold{a_m} λ1a1+λ2a2+...+λmam
为 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am的线性组合， λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m λ1,λ2,...,λm称为组合系数。如果 a \bold{a} a可以写成 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am的线性组合，则称 a \bold{a} a可以用 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性表示。

基于此，我们可以给出线性相关与线性无关的定义如下：

定义5.2.1
设 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n} a1,a2,...,am∈Fn， m ≥ 2 m \geq 2 m≥2，如果某一个向量能够用其他的向量线性表示，即存在某一个 a i \bold{a}_i ai以及一组参数 λ j ∈ F ( j ≠ i ) \lambda_j \in F(j \neq i) λj∈F(j=i)，使得 a i = ∑ j ≠ i λ j a j \bold{a}_i = \sum_{j \neq i} \lambda_j \bold{a}_j ai=∑j=iλjaj,则称 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性相关，否则称他们线性无关。

下面，我们给出线性相关的一些常用定理如下：

定理5.2.1
设 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n} a1,a2,...,am∈Fn，则 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性相关的充要条件是存在不全为0的常数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m λ1,λ2,...,λm，使得
∑ i = 1 m λ i a i = 0 \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \bold{a}_i = 0 i=1∑mλiai=0

定理5.2.2
设向量组 S 1 = { a i 1 , a i 2 , . . . , a i k } S_1 = \{\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_k} \} S1={ai1,ai2,...,aik}是向量组 S = { a 1 , a 2 , . . . , a m } S = \{\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \} S={a1,a2,...,am}的一个子集，则如果 S 1 S_1 S1线性相关，那么 S S S必然线性相关；如果 S S S线性无关，则 S 1 S_1 S1也线性无关。

定理5.2.3
设 a i = ( a i 1 , a i 2 , . . . , a i n ) ∈ F n \bold{a}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}) \in F^{n} ai=(ai1,ai2,...,ain)∈Fn， i = 1 , 2 , . . . , m i=1,2,...,m i=1,2,...,m。用 A \bold{A} A表示以 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am为行构成 m × n m \times n m×n阶矩阵。则 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性相关当且仅当关于 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m λ1,λ2,...,λm的齐次线性方程组
A T ( λ 1 . . . λ m ) = 0 \bold{A}^{T} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ ... \\ \lambda_m \end{pmatrix} = \bold{0} AT⎝ ⎛λ1...λm⎠ ⎞=0
有非零解，亦当且仅当 r a n k ( A ) < m rank(\bold{A}) < m rank(A)<m。

推论5.2.1
设 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n} a1,a2,...,am∈Fn是一组数组向量，则有：

若 m > n m > n m>n，则 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am必然线性相关；

若 m = n m = n m=n，则 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性相关当且仅当 d e t ( A ) = 0 det(\bold{A}) = 0 det(A)=0；

若 m < n m < n m<n，则 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性相关当且仅当矩阵 A \bold{A} A的所有 m m m阶子式为零；

定理5.2.4
设 a i = ( a i 1 , a i 2 , . . . , a i r ) ∈ F r \bold{a}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{ir}) \in F^{r} ai=(ai1,ai2,...,air)∈Fr， i = 1 , 2 , . . . , m i=1,2,...,m i=1,2,...,m。他们的加长向量组为 b i = ( a i 1 , a i 2 , . . . , a i r , . . . a i n ) ∈ F n ( n > r ) \bold{b}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{ir}, ... a_{in}) \in F^{n}(n>r) bi=(ai1,ai2,...,air,...ain)∈Fn(n>r)， i = 1 , 2 , . . . , m i=1,2,...,m i=1,2,...,m，则有：

若 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性无关，则 b 1 , b 2 , . . . , b m \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_m b1,b2,...,bm也线性无关；

若 b 1 , b 2 , . . . , b m \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_m b1,b2,...,bm线性相关，则 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am也线性相关；

2. 秩

要考察线性方程组的秩，我们首先需要引入极大无关组的定义。

定义5.3.1
设 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n} a1,a2,...,am∈Fn，若 a i 1 , a i 2 , . . . , a i r \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r} ai1,ai2,...,air线性无关，且任意加一个其他的向量 a i r + 1 \bold{a}_{i_{r+1}} air+1后 a i 1 , a i 2 , . . . , a i r , a i r + 1 \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r}, \bold{a}_{i_{r+1}} ai1,ai2,...,air,air+1均线性相关，则称 a i 1 , a i 2 , . . . , a i r \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r} ai1,ai2,...,air为 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am的极大无关组。

对于极大无关组，我们有定理如下：

定理5.3.1
设 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n} a1,a2,...,am∈Fn为一组列向量， A = ( a 1 , . . . , a m ) \bold{A} = (\bold{a}_1, ..., \bold{a}_m) A=(a1,...,am)是以 a 1 , . . . , a m \bold{a}_1, ..., \bold{a}_m a1,...,am为列构成的 n × m n \times m n×m阶矩阵， A \bold{A} A经过一系列初等变换变为矩阵 B = ( b 1 , . . . , b m ) \bold{B} = (\bold{b}_1, ..., \bold{b}_m) B=(b1,...,bm)，则：

a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性相关（无关）当且仅当 b 1 , . . . , b m \bold{b}_1, ..., \bold{b}_m b1,...,bm线性相关（无关）；

a i 1 , a i 2 , . . . , a i r \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r} ai1,ai2,...,air为 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am的极大无关组，当且仅当 b i 1 , b i 2 , . . . , b i r \bold{b}_{i_1}, \bold{b}_{i_2}, ..., \bold{b}_{i_r} bi1,bi2,...,bir为 b 1 , b 2 , . . . , b m \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_m b1,b2,...,bm的极大无关组。

在极大无关组的基础上，我们引入向量组的等价的定义：

定义5.3.2
如果向量组 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am中的每一个向量都可以用向量组 b 1 , b 2 , . . . , b l \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l b1,b2,...,bl线性表示，则称向量组 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am可以由向量组 b 1 , b 2 , . . . , b l \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l b1,b2,...,bl线性表示。
如果两个向量组 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am和 b 1 , b 2 , . . . , b l \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l b1,b2,...,bl可以相互线性表示，则称这两个向量组等价，记为：
{ a 1 , a 2 , . . . , a m } ∼ { b 1 , b 2 , . . . , b l } \{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \} \sim \{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l \} {a1,a2,...,am}∼{b1,b2,...,bl}

很自然的，向量组等价满足性质：

反身性： a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am与它自身等价；
对称性：若 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am与 b 1 , b 2 , . . . , b l \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l b1,b2,...,bl等价，则 b 1 , b 2 , . . . , b l \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l b1,b2,...,bl与 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am等价；
传递性：若 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am与 b 1 , b 2 , . . . , b l \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l b1,b2,...,bl等价，且 b 1 , b 2 , . . . , b l \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l b1,b2,...,bl与 c 1 , c 2 , . . . , c k \bold{c}_1, \bold{c}_2, ..., \bold{c}_k c1,c2,...,ck等价，则 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am与 c 1 , c 2 , . . . , c k \bold{c}_1, \bold{c}_2, ..., \bold{c}_k c1,c2,...,ck等价。

向量组的等价还具有如下一些定理：

定理5.3.2
一组向量组与它的任何一组极大无关组等价。

推论5.3.1
向量组的任何两个极大无关组彼此等价。

定理5.3.3
若两个线性无关向量组 { a 1 , a 2 , . . . , a r } \{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \} {a1,a2,...,ar}与 { b 1 , b 2 , . . . , b s } \{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s \} {b1,b2,...,bs}等价，则 r = s r=s r=s。

推论5.3.2
若 a i 1 , a i 2 , . . . , a i r \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r} ai1,ai2,...,air和 a j 1 , a j 2 , . . . , a j s \bold{a}_{j_1}, \bold{a}_{j_2}, ..., \bold{a}_{j_s} aj1,aj2,...,ajs分别为 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am的两个极大无关组，则 r = s r=s r=s。

由此，我们可以最终引入向量组的秩的定义：

定义5.3.3
向量组 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am的极大无关组元素的个数称之为向量组的秩，记为 r a n k ( a 1 , a 2 , . . . , a m ) rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m) rank(a1,a2,...,am)或 r ( a 1 , a 2 , . . . , a m ) r(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m) r(a1,a2,...,am)。

向量组的秩具有如下性质：

定理5.3.4
设向量 a 1 , a 2 , . . . , a r ∈ F n \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \in F^{n} a1,a2,...,ar∈Fn，向量 b 1 , b 2 , . . . , b s ∈ F n \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s \in F^{n} b1,b2,...,bs∈Fn，则有：

a 1 , a 2 , . . . , a r \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r a1,a2,...,ar线性无关当且仅当 r a n k ( a 1 , a 2 , . . . , a r ) = r rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r) = r rank(a1,a2,...,ar)=r；

a 1 , a 2 , . . . , a r \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r a1,a2,...,ar线性相关当且仅当 r a n k ( a 1 , a 2 , . . . , a r ) < r rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r) < r rank(a1,a2,...,ar)<r；

{ b 1 , b 2 , . . . , b s } \{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s \} {b1,b2,...,bs}可以用 { a 1 , a 2 , . . . , a r } \{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \} {a1,a2,...,ar}线性表示，则 r a n k ( b 1 , b 2 , . . . , b s ) ≤ r a n k ( a 1 , a 2 , . . . , a r ) rank(\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s) \leq rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r) rank(b1,b2,...,bs)≤rank(a1,a2,...,ar);

{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, …, \bold{b}_s } 与与与{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, …, \bold{a}_r } 等价，则等价，则等价，则rank(\bold{b}_1, \bold{b}_2, …, \bold{b}_s) = rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, …, \bold{a}_r)$

{ b 1 , b 2 , . . . , b s } \{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s \} {b1,b2,...,bs}可以用 { a 1 , a 2 , . . . , a r } \{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \} {a1,a2,...,ar}线性表示，且 b 1 , b 2 , . . . , b s \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s b1,b2,...,bs线性无关，则 s ≤ r s \leq r s≤r;

向量 b \bold{b} b可以表示成 a 1 , a 2 , . . . , a r \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r a1,a2,...,ar的线性组合，当且仅当 r a n k ( a 1 , a 2 , . . . , a r ) = r a n k ( a 1 , a 2 , . . . , a r , b ) rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r) = rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r, \bold{b}) rank(a1,a2,...,ar)=rank(a1,a2,...,ar,b);

定理5.3.5
任何矩阵的行秩等于它的列秩等于该矩阵的秩；

推论5.3.3
n n n阶方阵 A \bold{A} A可逆 ⇔ r a n k ( A ) = n ⇔ \Leftrightarrow rank(\bold{A}) = n \Leftrightarrow ⇔rank(A)=n⇔ A \bold{A} A的行（列）向量线性无关。

推论5.3.4
若 r a n k ( A ) = r rank(\bold{A}) = r rank(A)=r，则 A \bold{A} A的不等于0的 r r r阶子式所在的行（列）构成 A \bold{A} A的行（列）向量的极大无关组。

3. 子空间、基与维数

要介绍子空间的内容，我们首先引入向量的生成子空间定义：

定义 5.4.1
设 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ F n \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n} a1,a2,...,am∈Fn是一组向量，称集合
⟨ a 1 , a 2 , . . . , a m ⟩ : = { ∑ i = 1 m λ i a i ∣ λ i ∈ F , i = 1 , 2 , . . . , m } \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle := \{ \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \bold{a}_i | \lambda_i \in F, i=1,2,..., m \} ⟨a1,a2,...,am⟩:={i=1∑mλiai∣λi∈F,i=1,2,...,m}
为向量组 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am生成的 F n F^{n} Fn的子空间， a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am称为生成子空间的生成元。
给定一个矩阵 A ∈ F m × n \bold{A} \in F^{m \times n} A∈Fm×n，由 A \bold{A} A的行向量生成的子空间称为行空间；由 A \bold{A} A的列向量生成的子空间称为列空间。

生成子空间具有如下性质：

命题5.4.1
若 b 1 , b 2 , . . . , b k ∈ ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a m ⟩ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_k \in \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle b1,b2,...,bk∈⟨a1,a2,...,am⟩，则 b 1 , b 2 , . . . , b k \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_k b1,b2,...,bk的任意线性组合都属于 ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a m ⟩ \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle ⟨a1,a2,...,am⟩。

定理5.4.1
设 a i , b j , b \bold{a}_i, \bold{b}_j, \bold{b} ai,bj,b均为 F n F^{n} Fn中的向量，其中 i = 1 , . . . , m i=1,...,m i=1,...,m， j = 1 , . . . , l j=1,...,l j=1,...,l。则下列结论成立：

向量组 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am与 b 1 , b 2 , . . . , b l \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l b1,b2,...,bl等价，当接近当 ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a m ⟩ = ⟨ b 1 , b 2 , . . . , b l ⟩ \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle = \langle \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l \rangle ⟨a1,a2,...,am⟩=⟨b1,b2,...,bl⟩；

a 1 , a 2 , . . . , a m ( m ≥ 2 ) \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m (m \geq 2) a1,a2,...,am(m≥2)线性相关，当且仅当存在 i i i使得 a i ∈ ⟨ a j ∣ j ≠ i ⟩ \bold{a}_i \in \langle \bold{a}_j | j \neq i \rangle ai∈⟨aj∣j=i⟩，亦即 ⟨ a i ⟩ = ⟨ a j ∣ j ≠ i ⟩ \langle \bold{a}_i \rangle = \langle \bold{a}_j | j \neq i \rangle ⟨ai⟩=⟨aj∣j=i⟩;

a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am线性无关，当且仅当对任意 i i i均有 a i ∉ ⟨ a j ∣ j ≠ i ⟩ \bold{a}_i \notin \langle \bold{a}_j | j \neq i \rangle ai∈/⟨aj∣j=i⟩，亦即 ⟨ a i ⟩ ≠ ⟨ a j ∣ j ≠ i ⟩ \langle \bold{a}_i \rangle \neq \langle \bold{a}_j | j \neq i \rangle ⟨ai⟩=⟨aj∣j=i⟩;

a i 1 , a i 2 , . . . , a i r \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r} ai1,ai2,...,air是 a 1 , a 2 , . . . , a m \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m a1,a2,...,am的极大无关组，当且仅当 ⟨ a i 1 , a i 2 , . . . , a i r ⟩ = ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a m ⟩ \langle \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r} \rangle = \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle ⟨ai1,ai2,...,air⟩=⟨a1,a2,...,am⟩且 a i 1 , a i 2 , . . . , a i r \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r} ai1,ai2,...,air线性无关；

线性方程组 ∑ i x i a i = b \sum_{i}x_i\bold{a}_i = \bold{b} ∑ixiai=b有解当且仅当 b ∈ ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a m ⟩ \bold{b} \in \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle b∈⟨a1,a2,...,am⟩，当且仅当 ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a m ⟩ = ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a m , b ⟩ \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle = \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m, \bold{b} \rangle ⟨a1,a2,...,am⟩=⟨a1,a2,...,am,b⟩

在生成子空间的基础上，我们给出子空间的两种定义：

定义5.4.2
设 V ⊂ F n V \subset F^{n} V⊂Fn为非空向量集合，它满足：
对任意 a 1 , a 2 , . . . , a m ∈ V \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in V a1,a2,...,am∈V， λ 1 , . . . , λ m ∈ F \lambda_1, ..., \lambda_m \in F λ1,...,λm∈F，都有 ∑ i = 1 m ∈ V \sum_{i=1}^{m} \in V ∑i=1m∈V，则称 V V V为 F n F^{n} Fn的子空间。

定义5.4.3
设 V ⊂ F n V \subset F^{n} V⊂Fn为非空向量集合，它满足：

若 a , b ∈ V \bold{a,b} \in V a,b∈V，则 a + b ∈ V \bold{a+b} \in V a+b∈V；

若 a ∈ V \bold{a} \in V a∈V， λ ∈ F \lambda \in F λ∈F，则 λ a ∈ V \lambda \bold{a} \in V λa∈V;

则称 V V V为 F n F^n Fn的子空间。

对于任意一个子空间，我们有如下定理：

定理5.4.2
设非空集合 V V V是 F n F^n Fn的子空间，则存在线性无关的向量组 a 1 , a 2 , . . . , a r \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r a1,a2,...,ar，使得 V = ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a r ⟩ V = \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \rangle V=⟨a1,a2,...,ar⟩

亦即任意子空间总可以表示为一些线性无关的向量的生成子空间。

因此，我们就给可以给出子空间的基的定义：

定义5.4.4
设 V ⊂ F n V \subset F^n V⊂Fn是子空间， V V V中的一组向量 { a 1 , a 2 , . . . , a r } \{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \} {a1,a2,...,ar}称为 V V V的一组基，如果其满足：

对任意向量 a ∈ V \bold{a} \in V a∈V， a \bold{a} a可以唯一地表示为 a 1 , a 2 , . . . , a r \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r a1,a2,...,ar的线性组合： a = ∑ i = 1 r λ i a i \bold{a} = \sum_{i=1}^{r} \lambda_i \bold{a_i} a=∑i=1rλiai

a 1 , a 2 , . . . , a r \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r a1,a2,...,ar线性无关。

称 ( λ 1 , . . . λ r ) (\lambda_1, ... \lambda_r) (λ1,...λr)为向量 a \bold{a} a在基 { a 1 , a 2 , . . . , a r } \{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \} {a1,a2,...,ar}下的坐标。
V V V的一组基的向量个数称为 V V V的维数，记作 d i m V dimV dimV。

我们有定理：

定理5.4.3
n n n为数组空间 F n F^n Fn中的下列结论成立：

设 V ⊂ F n V \subset F^n V⊂Fn为 r r r维子空间，则 V V V中任意 r + 1 r+1 r+1个向量线性相关；

设 V V V为 r r r维子空间，则 V V V中任意 r r r个线性无关向量为 V V V的一组基；

设 U U U与 V V V为 F n F^n Fn的子空间，且 U ⊆ V U \subseteq V U⊆V，则 d i m U ≤ d i m V dimU \leq dimV dimU≤dimV；

设 U U U与 V V V为 F n F^n Fn的子空间，且 U ⊆ V U \subseteq V U⊆V，若 d i m U = d i m V dimU = dimV dimU=dimV，则 U = V U = V U=V。

4. 一般线性空间

上面，我们介绍了数组向量中的子空间等定义，这里，我们将会介绍一下一般的线性空间，它不局限于数组向量，而是针对一般的集合。

我们给出一般的线性空间的定义如下：

定义5.6.1
设 V V V是一个非空集合， F F F是一个数域，对 V V V中的元素定义两种运算：

加法：对 V V V中的任意两个元素 α , β \bold{\alpha, \beta} α,β组成的有序对 ( α , β ) (\bold{\alpha, \beta}) (α,β)， V V V中存在唯一的一个元素 γ \bold{\gamma} γ与之相对应，简记为 α + β = γ \bold{\alpha + \beta = \gamma} α+β=γ；

数乘：对任意常数 λ ∈ F \lambda \in F λ∈F及向量 α ∈ V \alpha \in V α∈V， V V V中存在唯一地一个元素 γ \gamma γ与之对应，简记为 λ α = γ \lambda \bold{\alpha} = \bold{\gamma} λα=γ。

加法与数乘运算满足下列运算规律：

加法交换律： α + β = β + α \bold{\alpha + \beta = \beta + \alpha} α+β=β+α

加法结合律： ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) \bold{(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)} (α+β)+γ=α+(β+γ)

零向量：存在元素 θ ∈ V \bold{\theta} \in V θ∈V使得 α + θ = θ + α = α \bold{\alpha + \theta = \theta + \alpha = \alpha} α+θ=θ+α=α对任意 α ∈ V \bold{\alpha} \in V α∈V成立， θ \bold{\theta} θ称为零元素，通常简记为 0 \bold{0} 0;

对任意 α ∈ V \bold{\alpha} \in V α∈V，存在唯一的 β ∈ V \bold{\beta} \in V β∈V，使得 α + β = β + α = 0 \bold{\alpha + \beta = \beta + \alpha = 0} α+β=β+α=0， β \bold{\beta} β称为 α \bold{\alpha} α的负元素，简记为 − α -\bold{\alpha} −α；

对任意 λ ∈ F \lambda \in F λ∈F， α , β ∈ V \bold{\alpha, \beta} \in V α,β∈V， λ ( α + β ) = λ α + λ β \lambda (\bold{\alpha + \beta}) = \lambda \bold{\alpha} + \lambda \bold{\beta} λ(α+β)=λα+λβ;

对任意 λ , μ ∈ F \lambda, \mu \in F λ,μ∈F， α ∈ V \bold{\alpha} \in V α∈V， ( λ + μ ) α = λ α + μ α (\lambda + \mu) \bold{\alpha} = \lambda \bold{\alpha} + \mu\bold{\alpha} (λ+μ)α=λα+μα;

对任意 λ , μ ∈ F \lambda, \mu \in F λ,μ∈F， α ∈ V \bold{\alpha} \in V α∈V， λ ( μ α ) = ( λ μ ) α \lambda (\mu \bold{\alpha}) = (\lambda \mu) \bold{\alpha} λ(μα)=(λμ)α；

1 α = α 1\bold{\alpha} = \bold{\alpha} 1α=α对任意 α ∈ V \bold{\alpha} \in V α∈V成立。

则称 V V V是数域 F F F上的线性空间，简记为 V ( F ) V(F) V(F)或 V V V。
线性空间 V V V中的元素称为向量。

线性空间具有如下性质：

零向量唯一；
负向量唯一；
0 α = 0 0\bold{\alpha}=\bold{0} 0α=0;
( − 1 ) α = − α (-1)\bold{\alpha} = -\bold{\alpha} (−1)α=−α;
λ 0 = 0 \lambda \bold{0} = \bold{0} λ0=0
λ α = 0 \lambda \bold{\alpha} = \bold{0} λα=0当且仅当 α = 0 \bold{\alpha} = \bold{0} α=0或者 λ = 0 \lambda = 0 λ=0;

对于一般的线性空间，我们同样可以给出子空间等定义如下：

定义5.6.2
设 V V V是数域 F F F上的线性空间，给定 V V V中的一组向量 S = { α 1 , α 2 , . . . , α m } S = \{ \bold{\alpha}_1, \bold{\alpha}_2, ..., \bold{\alpha}_m \} S={α1,α2,...,αm}及一组数 λ 1 , . . . , λ m ∈ F \lambda_1, ..., \lambda_m \in F λ1,...,λm∈F，称和式
λ 1 α 1 + . . . + λ m α m \lambda_1 \bold{\alpha}_1 + ... + \lambda_m \bold{\alpha}_m λ1α1+...+λmαm
为向量组 S S S的线性组合， λ 1 , . . . , λ m \lambda_1, ..., \lambda_m λ1,...,λm称为组合系数，如果 α \bold{\alpha} α可以写成 S S S的线性组合，则称 α \bold{\alpha} α可以用 S S S线性表示。
向量组 S S S的线性组合的全体
⟨ S ⟩ : = ⟨ α 1 , . . . , α m ⟩ : = { λ 1 α 1 + . . . + λ m α m ∣ λ 1 , . . . , λ m ∈ F } \langle S \rangle := \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m \rangle := \{ \lambda_1 \bold{\alpha}_1 + ... + \lambda_m \bold{\alpha}_m | \lambda_1, ..., \lambda_m \in F \} ⟨S⟩:=⟨α1,...,αm⟩:={λ1α1+...+λmαm∣λ1,...,λm∈F}
称为 V V V的生成子空间， α 1 , . . . , α m \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m α1,...,αm称为生成子空间的生成元。

定义5.6.3
设 V V V是数域 F F F上的线性空间，称向量组 T = ⟨ β 1 , . . . , β l ⟩ T = \langle \bold{\beta}_1, ..., \bold{\beta}_l \rangle T=⟨β1,...,βl⟩可以由向量组 S = ⟨ α 1 , . . . , α m ⟩ S = \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m \rangle S=⟨α1,...,αm⟩线性表示，如果每一个 β i \bold{\beta}_i βi均可以用向量组 S S S线性表示。
如果向量组 S S S和 T T T可以相互线性表示，则称 S S S和 T T T等价。

定理5.6.1
设 S S S和 T T T是线性空间 V V V的两个向量组，则：

T T T可以由 S S S线性表示，当且仅当 ⟨ T ⟩ ⊂ ⟨ S ⟩ \langle T \rangle \subset \langle S \rangle ⟨T⟩⊂⟨S⟩;

U U U可以由 T T T线性表示， T T T可以由 S S S线性表示，则 U U U可以由 S S S线性表示；

S S S与 T T T等价，当且仅当 ⟨ S ⟩ = ⟨ T ⟩ \langle S \rangle = \langle T \rangle ⟨S⟩=⟨T⟩;

U U U与 T T T等价， T T T与 S S S等价，则 U U U与 S S S等价。

定义5.6.4
设 V V V是数域 F F F上的线性空间， S S S是 V V V中的一组向量。如果 S S S中的某个向量能用其他向量线性表示，则称 S S S线性相关，反之则称为线性无关。
特别的，如果一个向量组成的向量组线性相关，当且仅当该向量为零向量。

定理5.6.2
设 α 1 , . . . , α m ( m ≥ 2 ) \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m (m \geq 2) α1,...,αm(m≥2)是线性空间 V V V中的向量，则下列说法等价：

α 1 , . . . , α m \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m α1,...,αm线性相关；

存在不全为零的常数 λ 1 , . . . , λ m ∈ F \lambda_1, ..., \lambda_m \in F λ1,...,λm∈F，使得 ∑ i = 1 m λ i α i = 0 \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \bold{\alpha}_i = 0 ∑i=1mλiαi=0;

存在向量 α i \bold{\alpha}_i αi使得 α i = ∑ j ≠ i λ j α j \bold{\alpha}_i = \sum_{j \neq i} \lambda_j \bold{\alpha}_j αi=∑j=iλjαj;

存在向量 α i \bold{\alpha}_i αi使得 α i ∈ ⟨ α 1 , . . . , α i − 1 , α i + 1 , . . . α m ⟩ \bold{\alpha}_i \in \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_{i-1}, \bold{\alpha}_{i+1}, ... \bold{\alpha}_m \rangle αi∈⟨α1,...,αi−1,αi+1,...αm⟩;

存在向量 α i \bold{\alpha}_i αi使得 ⟨ α 1 , . . . , α m ⟩ = ⟨ α 1 , . . . , α i − 1 , α i + 1 , . . . α m ⟩ \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m \rangle = \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_{i-1}, \bold{\alpha}_{i+1}, ... \bold{\alpha}_m \rangle ⟨α1,...,αm⟩=⟨α1,...,αi−1,αi+1,...αm⟩;

定理5.6.3
设向量组 S 1 S_1 S1是向量组 S S S的一个自己，那么，如果 S 1 S_1 S1线性相关，则 S S S也线性相关；如果 S S S线性无关，则 S 1 S_1 S1也线性无关。

定义5.6.5
设 S S S是线性空间 V V V中的向量组，若 S S S的子集 S 1 S_1 S1线性无关，且任加 S S S中的一个其他向量 α \bold{\alpha} α后， S 1 ∪ ⟨ α ⟩ S_1 \cup \langle \bold{\alpha} \rangle S1∪⟨α⟩线性相关，则称 S 1 S_1 S1为向量组 S S S的极大无关组。

定理5.6.4
向量组的极大无关组有下列等价的说法：

向量组 S S S的子集 S 1 S_1 S1是 S S S的极大无关组；

向量组 S S S可以由子集 S 1 S_1 S1线性表示，且 S 1 S_1 S1线性无关；

向量组 S S S与它的子集 S 1 S_1 S1等价，且 S 1 S_1 S1线性无关；

⟨ S ⟩ = ⟨ S 1 ⟩ \langle S \rangle = \langle S_1 \rangle ⟨S⟩=⟨S1⟩，且 S 1 S_1 S1线性无关；

推论5.6.1
向量组的任意两个极大无关组彼此等价；

定理5.6.5
两个等价向量组 ⟨ α 1 , . . . , α r ⟩ \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_r \rangle ⟨α1,...,αr⟩和 ⟨ b e t a 1 , . . . , β s ⟩ \langle \bold{beta}_1, ..., \bold{\beta}_s \rangle ⟨beta1,...,βs⟩分别线性无关，则 r = s r=s r=s。

推论5.6.2
设 α i 1 , . . . , α i r \bold{\alpha}_{i_1}, ..., \bold{\alpha}_{i_r} αi1,...,αir和 α j 1 , . . . , α j s \bold{\alpha}_{j_1}, ..., \bold{\alpha}_{j_s} αj1,...,αjs分别是 α 1 , . . . , α m \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m α1,...,αm的两个极大无关组，则 r = s r=s r=s。

定义5.6.6
向量组 S S S的极大无关组的向量的个数称为向量组的秩，即为 r a n k ( S ) rank(S) rank(S)或者 r ( S ) r(S) r(S)。

定理5.6.6
设 S , T S, T S,T是线性空间 V V V中的有限向量组，则有如下结论：

S S S线性无关当且仅当 r a n k ( S ) = # S rank(S) = \#S rank(S)=#S;

S S S线性相关当且仅当 r a n k ( S ) < # S rank(S) < \#S rank(S)<#S;

若 T T T可以用 S S S线性表示，则 r a n k ( T ) ≤ r a n k ( S ) rank(T) \leq rank(S) rank(T)≤rank(S);

若 T T T和 S S S等价，则 r a n k ( T ) = r a n k ( S ) rank(T) = rank(S) rank(T)=rank(S);

若 T T T可以用 S S S线性表示，且 T T T线性无关，则 # T ≤ # S \#T \leq \#S #T≤#S;

定义5.6.7
设 V V V是数域 F F F上的线性空间， S S S是 V V V中一组线性无关向量。如果 V V V中任何向量都能表示成 S S S的线性组合，则称 S S S是 V V V的一组基。若 S S S是有限的，则称 V V V为有限维线性空间， S S S中的元素的个数称为线性空间 V V V的维数，记为 d i m V dimV dimV。若 S S S是无限的，则称 V V V为无限维线性空间，其维数为无穷大。
设基为 S = { α 1 , . . . , α n } S = \{ \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n \} S={α1,...,αn}是有限的，则任意向量 α ∈ V \bold{\alpha} \in V α∈V可以唯一地表示为 S S S的线性组合
α = λ 1 α 1 + . . . + λ n α n \bold{\alpha} = \lambda_1 \bold{\alpha}_1 + ... + \lambda_n \bold{\alpha}_n α=λ1α1+...+λnαn
称 ( λ 1 , . . . , λ n ) (\lambda_1, ..., \lambda_n) (λ1,...,λn)为向量 α \bold{\alpha} α在基 S S S下的坐标。

定理5.6.7
设 V V V是数域 F F F上的 n n n维线性空间，则有：

V V V中任意 n + 1 n+1 n+1个向量线性相关；

V V V中任意 n n n个线性无关向量为一组基；

设 α 1 , . . . , α r ∈ V \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_r \in V α1,...,αr∈V是 r ( r < n ) r(r<n) r(r<n)个线性无关的向量，则存在 V V V中的向量 α r + 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_{r+1}, ..., \bold{\alpha}_n αr+1,...,αn使得 α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn构成 V V V中的一组基，称 α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn为线性无关组 α 1 , . . . , α r \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_r α1,...,αr的一组扩充基。

5. 同构

最后，我们来稍微引入了一下线性空间的同构定义。

定义5.7.1
设 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1,V2是数域 F F F上的两个线性空间，如果存在一一映射 σ : V 1 → V 2 \sigma : V_1 \rightarrow V_2 σ:V1→V2满足：

对任意 x , y ∈ V 1 \bold{x,y} \in V_1 x,y∈V1, σ ( x + y ) = σ ( x ) + σ ( y ) \sigma(\bold{x+y}) = \sigma(\bold{x}) + \sigma(\bold{y}) σ(x+y)=σ(x)+σ(y);

对任意 λ ∈ F \lambda \in F λ∈F, x ∈ V 1 \bold{x} \in V_1 x∈V1， σ ( λ x ) = λ σ ( x ) \sigma(\lambda \bold{x}) = \lambda \sigma(\bold{x}) σ(λx)=λσ(x).

则称线性空间 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1,V2同构，记为 V 1 ∼ V 2 V_1 \sim V_2 V1∼V2， σ \sigma σ称为同构映射。
当 V 1 = V 2 V_1 = V_2 V1=V2时，称 σ \sigma σ为自同构。

对于同构，有如下定理：

定理5.7.1
设 V 1 , V 2 , V 3 V_1, V_2, V_3 V1,V2,V3是数域 F F F上的线性空间，则有：

若 d i m V 1 = n dimV_1 = n dimV1=n，则 V 1 V_1 V1与 n n n维数组空间 F n F^n Fn同构；

设 σ \sigma σ是 V 1 → V 2 V_1 \rightarrow V_2 V1→V2的同构映射，则 σ − 1 \sigma^{-1} σ−1是 V 2 → V 1 V_2 \rightarrow V_1 V2→V1的同构映射；

若 V 1 V_1 V1与 V 2 V_2 V2同构， V 2 V_2 V2与 V 3 V_3 V3同构，则 V 1 V_1 V1与 V 3 V_3 V3同构。

定理5.7.2
设 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1,V2是数域 F F F上的线性空间， σ : V 1 → V 2 \sigma: V_1 \rightarrow V_2 σ:V1→V2是同构映射，则：

σ ( 0 1 ) = 0 2 \sigma(\bold{0}_1) = \bold{0}_2 σ(01)=02，其中， 0 1 , 0 2 \bold{0}_1, \bold{0}_2 01,02分别是 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1,V2的零元素；

σ ( − α ) = − σ ( α ) \sigma(-\bold{\alpha}) = -\sigma(\bold{\alpha}) σ(−α)=−σ(α);

σ ( ∑ i = 1 m λ i α i ) = ∑ i = 1 m λ i σ ( α i ) \sigma(\sum_{i=1}^{m} \lambda_i \bold{\alpha}_i) = \sum_{i=1}^{m}\lambda_i \sigma(\bold{\alpha}_i) σ(∑i=1mλiαi)=∑i=1mλiσ(αi);

V 1 V_1 V1中向量组 S S S线性无关（相关）当且仅当 σ ( S ) \sigma(S) σ(S)在 V 2 V_2 V2当中线性无关（相关）;

M M M是 V 1 V_1 V1的基当且仅当 σ ( M ) \sigma(M) σ(M)是 V 2 V_2 V2的基；

d i m V 1 = d i m V 2 dimV_1 = dimV_2 dimV1=dimV2。

定理5.7.3
数域 F F F上的线性空间 V 1 V_1 V1与 V 2 V_2 V2同构的充要条件是 d i m V 1 = d i m V 2 dimV_1 = dimV_2 dimV1=dimV2。

2. 线性变换

1. 定义 & 性质

定义6.1.1
设 V , V 1 V, V_1 V,V1是数域 F F F上的两个线性空间，若映射 A : V → V ′ \mathcal{A}: V \rightarrow V' A:V→V′满足：
对任意 x , y ∈ V , λ ∈ F \bold{x, y} \in V, \lambda \in F x,y∈V,λ∈F，都有：

A ( x + y ) = A ( x ) + A ( y ) \mathcal{A}(\bold{x+y}) = \mathcal{A}(\bold{x}) + \mathcal{A}(\bold{y}) A(x+y)=A(x)+A(y)

A ( λ x ) = λ A ( x ) \mathcal{A}(\lambda \bold{x}) = \lambda \mathcal{A}(\bold{x}) A(λx)=λA(x)

则称 A \mathcal{A} A为从线性空间 V V V到线性空间 V ′ V' V′的线性映射。
特别的，如果 V = V ′ V = V' V=V′，则称 A \mathcal{A} A为线性空间 V V V上的一个线性变化。

有性质：

定理6.1.1
设 V V V是数域 F F F上的线性空间， A \mathcal{A} A是 V V V上的线性变换， A \mathcal{A} A具有以下性质：

A ( 0 ) = 0 \mathcal{A}(\bold{0}) = \bold{0} A(0)=0;

A ( − a ) = − a , a ∈ V \mathcal{A}(-\bold{a}) = - \mathcal{\bold{a}}, \bold{a} \in V A(−a)=−a,a∈V;

设 a 1 , . . . a n \bold{a}_1, ... \bold{a}_n a1,...an为线性空间 V V V的一组基，若 a = λ 1 a 1 + . . . + λ n a n \bold{a} = \lambda_1 \bold{a}_1 + ... + \lambda_n \bold{a}_n a=λ1a1+...+λnan，则
A ( a ) = λ 1 A ( a 1 ) + . . . + λ n A ( a n ) \mathcal{A}(\bold{a}) = \lambda_1 \mathcal{A}(\bold{a}_1) + ... + \lambda_n \mathcal{A}(\bold{a}_n) A(a)=λ1A(a1)+...+λnA(an);

若 a 1 , . . . a m \bold{a}_1, ... \bold{a}_m a1,...am是 V V V中线性相关的向量，则 A ( a 1 ) , . . . , A ( a m ) \mathcal{A}(\bold{a}_1), ..., \mathcal{A}(\bold{a}_m) A(a1),...,A(am)也线性相关。

2. 矩阵表达

线性变换本质上可以视为线性空间上的两组向量之间的变化关系，我们可以将其放到两组基当中进行表达，即可以将其视为两个基底之间的线性变换。

A ( α 1 , . . . , α n ) = ( α 1 , . . . , α n ) ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ) \mathcal{A}{\bold{(\alpha_1, ..., \alpha_n)}} = \bold{(\alpha_1, ..., \alpha_n)} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} A(α1,...,αn)=(α1,...,αn)⎝ ⎛a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎠ ⎞

因此，我们可以将矩阵 A = ( a i j ) \bold{A} = (a_{ij}) A=(aij)称为线性变换 A \mathcal{A} A在基 α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn下的变换矩阵。

我们有定理：

定理6.2.1
设线性变换 A : V → V \mathcal{A}: V \rightarrow V A:V→V在基 α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn下的矩阵为 A \bold{A} A，设 x , y ∈ V \bold{x, y} \in V x,y∈V，且 y = A ( x ) \bold{y} = \mathcal{A}(\bold{x}) y=A(x)，若 x , y \bold{x, y} x,y在基 α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn下的坐标分别为 X , Y \bold{X, Y} X,Y，则：
Y = A X \bold{Y} = \bold{AX} Y=AX

我们将数域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V上的全体线性变换所构成的集合记为 L ( V ) \bold{L}(V) L(V)，将数域 F F F上的 n n n阶方阵的构成的集合记为 M n ( F ) \bold{M}_n(F) Mn(F)，则有：

定理6.2.2
设 V V V为数域 F F F上的 n n n维线性空间， α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn为 V V V的一组基。则存在一一映射 Φ : L ( V ) → M n ( F ) \Phi:\bold{L}(V) \rightarrow \bold{M}_n(F) Φ:L(V)→Mn(F)，使得对每个 A ∈ L ( V ) \mathcal{A} \in \bold{L}(V) A∈L(V)， Φ ( A ) \Phi(\mathcal{A}) Φ(A)为 A \mathcal{A} A在基 α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn下的矩阵。

我们定义线性变换的运算：

A + B ( x ) = A ( x ) + A ( y ) \mathcal{A+B}(\bold{x}) = \mathcal{A}(\bold{x}) + \mathcal{A}(\bold{y}) A+B(x)=A(x)+A(y)
( λ A ) ( x ) = λ A ( x ) (\lambda \mathcal{A})(\bold{x}) = \lambda \mathcal{A}(\bold{x}) (λA)(x)=λA(x)
( B ∘ A ) ( x ) = B ( A ( x ) ) (\mathcal{B} \circ \mathcal{A})(\bold{x}) = \mathcal{B}(\mathcal{A}(\bold{x})) (B∘A)(x)=B(A(x))

我们有定理：

定理6.2.3
设 Φ : L ( V ) → M n ( F ) \Phi: \bold{L}(V) \rightarrow \bold{M}_n(F) Φ:L(V)→Mn(F)为前述定理6.2.2中定义的映射，则对 A , B ∈ L ( V ) , λ ∈ F \mathcal{A,B} \in \bold{L}(V), \lambda \in F A,B∈L(V),λ∈F，有：

Φ ( A + B ) = Φ ( A ) + Φ ( B ) \Phi(\mathcal{A+B}) = \Phi(\mathcal{A}) + \Phi(\mathcal{B}) Φ(A+B)=Φ(A)+Φ(B)

Φ ( λ A ) = λ Φ ( A ) \Phi(\lambda \mathcal{A}) = \lambda \Phi(\mathcal{A}) Φ(λA)=λΦ(A)

Φ ( B ∘ A ) = Φ ( B ) ⋅ Φ ( A ) \Phi(\mathcal{B} \circ \mathcal{A}) = \Phi(\mathcal{B}) \cdot \Phi(\mathcal{A}) Φ(B∘A)=Φ(B)⋅Φ(A)

3. 矩阵的相似

定理 6.3.1
设线性变换 A : V → V \mathcal{A}: V \rightarrow V A:V→V在 V V V的两组基 α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn和 β 1 , . . . , β n \bold{\beta}_1, ..., \bold{\beta}_n β1,...,βn的矩阵分别为 A \bold{A} A和 B \bold{B} B。设基 α 1 , . . . , α n \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n α1,...,αn到基 β 1 , . . . , β n \bold{\beta}_1, ..., \bold{\beta}_n β1,...,βn的过渡矩阵为 T T T，即 ( β 1 , . . . , β n ) = ( α 1 , . . . , α n ) T (\bold{\beta}_1, ..., \bold{\beta}_n) = (\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n)\bold{T} (β1,...,βn)=(α1,...,αn)T，则有：
B = T − 1 A T \bold{B} = \bold{T^{-1}AT} B=T−1AT

基于此，我们可以给出矩阵的相似定义：

定义6.3.1
设 A , B \bold{A, B} A,B为数域 F F F上的两个 n n n阶方阵，如果存在数域 F F F上的 n n n阶可逆方阵 T \bold{T} T，使得 B = T − 1 A T \bold{B} = \bold{T^{-1}AT} B=T−1AT，则称 A \bold{A} A和 b o l d B bold{B} boldB在数域 F F F上相似，记为 A ∼ B \bold{A} \sim \bold{B} A∼B。

对于相似的矩阵，有如下命题：

命题6.3.1
矩阵的相似关系为等价关系，即满足以下三个条件：

反身性： A \bold{A} A与 A \bold{A} A相似；

对称性：若 A \bold{A} A与 B \bold{B} B相似，则 B \bold{B} B与 A \bold{A} A相似；

传递性：若 A \bold{A} A与 B \bold{B} B相似， B \bold{B} B与 C \bold{C} C相似，则 b o l d A bold{A} boldA与 C \bold{C} C相似。

4. 特征值 & 特征向量

定义 6.4.1
设 A \bold{A} A为数域 F F F上的 n n n阶方阵，如果存在 λ ∈ F \lambda \in F λ∈F及非零列向量 x ∈ F n \bold{x} \in F^{n} x∈Fn，使得 A x = λ x \bold{Ax} = \lambda \bold{x} Ax=λx，则称 λ \lambda λ为方阵 A \bold{A} A的一个特征值，而称 x x x为属于特征值 λ \lambda λ的一个特征向量。
定义 V A ( λ ) : = { α ∈ V ∣ A α = λ α } V_{\mathcal{A}}(\lambda) := \{ \bold{\alpha} \in V | \mathcal{A}\bold{\alpha} = \lambda \bold{\alpha}\} VA(λ):={α∈V∣Aα=λα}为特征值 λ \lambda λ的特征子空间。

对于矩阵 A \bold{A} A，定义矩阵 A \bold{A} A的特征多项式 p A ( λ ) p_{\bold{A}}(\lambda) pA(λ)为：
d e t ( λ I − A ) = ∣ λ − a 11 − a 12 . . . − a 1 n − a 21 λ − a 22 . . . − a 2 n . . . . . . . . . . . . − a n 1 − a n 2 . . . λ − a n n ∣ = 0 det(\lambda \bold{I} - \bold{A}) = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & ... & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & ... & -a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ -a_{n1} & -a_{n2} & ... & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = 0 det(λI−A)=∣ ∣λ−a11−a21...−an1−a12λ−a22...−an2............−a1n−a2n...λ−ann∣ ∣=0

关于特征向量，我们有一些常用的性质：

若 λ \lambda λ是 n n n阶方阵 A \bold{A} A的一个特征值，则有：

λ k \lambda^k λk是 A k \bold{A}^k Ak的特征值，其中 k k k为正整数；

λ \lambda λ为 A T \bold{A}^{T} AT的特征值；

若 λ ≠ 0 \lambda \neq 0 λ=0，则 1 λ d e t ( A ) \frac{1}{\lambda}det(\bold{A}) λ1det(A)是 A \bold{A} A的伴随方阵 A ∗ \bold{A}^{*} A∗的特征值；

若方阵 A \bold{A} A为实方阵且满足 A A T = I \bold{AA^{T}} = \bold{I} AAT=I，则 ∣ λ ∣ = 1 |\lambda| = 1 ∣λ∣=1；

命题6.4.1
相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值。

命题6.4.2
设 A = ( a i j ) \bold{A} = (a_{ij}) A=(aij)为 C \bold{C} C上的一个 n n n阶方阵， λ 1 , . . . , λ n \lambda_1, ..., \lambda_n λ1,...,λn为 A \bold{A} A的 n n n个特征值，则有：

t r ( A ) = ∑ i = 1 n λ i tr(\bold{A}) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} tr(A)=∑i=1nλi

d e t ( A ) = Π i = 1 n λ i det(\bold{A}) = \Pi_{i=1}^{n} \lambda_{i} det(A)=Πi=1nλi

推论6.4.1
n n n阶方阵可逆当且仅当它的 n n n个特征值均不为零。

5. 相似对角化

引理6.5.1
设 A \bold{A} A是属于 F F F上的 n n n阶方阵，则属于 A \bold{A} A的不同特征值的特征向量是线性无关的。

定理6.5.1
数域 F F F上的 n n n阶方阵 A \bold{A} A相似于对角矩阵的充要条件是 A \bold{A} A有 n n n个线性无关的特征向量。

推论6.5.1
如果矩阵 A \bold{A} A的 n n n个特征值两两不同，则 A \bold{A} A相似于对角矩阵。

定理6.5.3
任何一个 n n n阶复方阵 A \bold{A} A都可以相似于一个上三角矩阵，且这个上三角矩阵的主对角线上的元素都是 A \bold{A} A的特征值。