【nowcoder Wannafly挑战赛24 F】 wyf的超级多项式【FFT/NTT】【构造】

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orz ckw大佬
我们考虑构造 f f f的递推式。我们设有数组 c c c，满足
f [ n ] = ∑ i = 1 k c [ i ] × f [ n − i ] f[n]=\sum_{i=1}^{k}c[i]\times f[n-i] f[n]=i=1∑kc[i]×f[n−i]
我们令 c [ 0 ] = − 1 c[0]=-1 c[0]=−1，则
∑ i = 0 k c [ i ] × f [ n − i ] = 0 \sum_{i=0}^{k}c[i]\times f[n-i]=0 i=0∑kc[i]×f[n−i]=0
带入一下
∑ i = 0 k c [ i ] × ∑ j = 1 k a [ j ] v [ j ] n − i = 0 \sum_{i=0}^{k}c[i]\times \sum_{j=1}^{k}a[j]v[j]^{n-i}=0 i=0∑kc[i]×j=1∑ka[j]v[j]n−i=0
我们考虑去构造一个 c c c，满足这条式子。
我们发现如果任意 j j j都满足 ∑ i = 0 k c [ i ] a [ j ] v [ j ] n − i = 0 \sum_{i=0}^{k}c[i]a[j]v[j]^{n-i}=0 i=0∑kc[i]a[j]v[j]n−i=0则一定满足上面的式子。
再变一下
∑ i = 0 k c [ i ] v [ j ] n − i = 0 \sum_{i=0}^{k}c[i]v[j]^{n-i}=0 i=0∑kc[i]v[j]n−i=0
不难发现仍然满足。
我们再设有多项式 F ( x ) = ∑ i = 0 k c [ k − i ] x i F(x)=\sum_{i=0}^{k}c[k-i]x^{i} F(x)=i=0∑kc[k−i]xi
我们可以构造 F ( x ) = − ∏ i = 1 k ( x − v [ i ] ) F(x)=-\prod_{i=1}^{k}(x-v[i]) F(x)=−i=1∏k(x−v[i])
不难发现，根据这个多项式得出的 c c c还是满足上面的式子的233。
于是就可以用分治FFT求出 F ( x ) F(x) F(x)的各项系数，也就求出了 c c c数组。
接下来递推一下就好了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=270005,mod=1004535809;
int n,k,len,v[N],f[N],res[N],rev[N],x[N],y[N];
int add(int a,int b){a+=b;return a<mod?a:a-mod;
}
int cut(int a,int b){a-=b;return a>=0?a:a+mod;
}
int fastpow(int a,int x){int res=1;while(x){if(x&1){res=1LL*res*a%mod;}x>>=1;a=1LL*a*a%mod;}return res;
}
void ntt(int a[],int dft,int n){for(int i=0;i<n;i++){rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));if(i<rev[i]){swap(a[i],a[rev[i]]);}}for(int i=1;i<n;i<<=1){int wn=fastpow(3,(mod-1)/i/2);if(dft==-1){wn=fastpow(wn,mod-2);}for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){int w=1,x,y;for(int k=j;k<j+i;k++,w=1LL*w*wn%mod){x=a[k];y=1LL*w*a[k+i]%mod;a[k]=add(x,y);a[k+i]=cut(x,y);}}}if(dft==-1){int inv=fastpow(n,mod-2);for(int i=0;i<n;i++){a[i]=1LL*a[i]*inv%mod;}}
}
void mul(int a[],int b[],int c[],int n,int m){int len;for(len=1;len<=n+m;len<<=1);for(int i=0;i<n;i++){x[i]=a[i];}for(int i=n;i<len;i++){x[i]=0;}for(int i=0;i<m;i++){y[i]=b[i];}for(int i=m;i<len;i++){y[i]=0;}ntt(x,1,len);ntt(y,1,len);for(int i=0;i<len;i++){x[i]=1LL*x[i]*y[i]%mod;}ntt(x,-1,len);for(int i=0;i<n+m-1;i++){c[i]=x[i];}
}
void solve(int l,int r,int res[],int &len){if(l==r){res[0]=v[l]?mod-v[l]:0;res[1]=1;len=2;return;}int mid=(l+r)/2;int *lres=new int [(mid-l+1)<<1],*rres=new int [(r-mid)<<1],*llen=new int,*rlen=new int;solve(l,mid,lres,*llen);solve(mid+1,r,rres,*rlen);mul(lres,rres,res,*llen,*rlen);len=*llen+*rlen-1;delete [] lres;delete [] rres;delete llen;delete rlen;
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=k;i++){scanf("%d",&v[i]);}for(int i=1;i<=k;i++){scanf("%d",&f[i]);}solve(1,k,res,len);for(int i=0;i<=k;i++){res[i]=res[i]?mod-res[i]:0;}reverse(res,res+k+1);for(int i=k+1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=k;j++){f[i]=add(f[i],1LL*res[j]*f[i-j]%mod);}}printf("%d\n",f[n]);return 0;
}

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