常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

上一节讲了常微分方程的三种离散化方法:差商近似导数、数值积分、Taylor 多项式近似。

§2 欧拉（Euler）方法

2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式 2.2 Euler 方法的误差估计

§3 改进的 Euler 方法

3.1 梯形公式 3.2 改进 Euler 法

§2 欧拉（Euler）方法

2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式

Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解，即由公式（3）依次算出 $y\left ( x_{n} \right )$ 的近似值 $y_{}n \:\: ,\left ( n=1,2,....\right )$ 。这组公式求问题（1）的数值解称为向前 Euler 公式。

2.2 Euler 方法的误差估计

对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的 $y_{n}$ 都是近似的，所以用它计算的 $y_{n+1}$ 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的所谓局部截断误差。

显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法

3.1 梯形公式

利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分，即

这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导出一种新的方法—改进 Euler 法。

3.2 改进 Euler 法

按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求 $y_{n+1}$ 的一个初步近似值 $\bar{y}_{n+1}$ ，称为预测值，然后用梯形公式校正求得近似值 $y_{n+1}$ ，即

式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

为便于编制程序上机，式（11）常改写成

改进 Euler 法是二阶方法。

常微分方程的解法求解系列博文：

常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似

常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

常微分方程的解法 (三): 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法、线性多步法

常微分方程的解法 (四): Matlab 解法