欧几里得定理及拓展欧几里得小结

【欧几里得定理】

定义：

gcd ⁡ ( a , b ) = gcd ⁡ ( b , a m o d    b ) \gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b) gcd(a,b)=gcd(b,amodb)

应用：

故得到 求解gcd的辗转相除法

模板：

int gcd(int a,int b)
{return b?gcd(b,a%b):a;
}int lcm(int a,int b)
{return a/gcd(a,b)*b;      //这样写防止溢出
}

【拓展欧几里得】

定义：

已知 a , b a, b a,b求解一组 x , y x,y x,y，使它们满足贝祖等式： a x + b y = gcd ⁡ ( a , b ) = d ax+by =\gcd(a, b) =d ax+by=gcd(a,b)=d（解一定存在）

推导：

已知： a x 1 + b y 1 = gcd ⁡ ( a , b ) = d ax_1+by_1=\gcd(a,b)=d ax1+by1=gcd(a,b)=d —— ①
　　　 b x 2 + ( a m o d    b ) y 2 = gcd ⁡ ( b , a m o d    b ) = d bx_2+(a\mod b)y_2=\gcd(b,a\mod b)=d bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb)=d —— ②

由欧几里得定理 gcd ⁡ ( a , b ) = gcd ⁡ ( b , a m o d    b ) \gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b) gcd(a,b)=gcd(b,amodb)，
可得： a x 1 + b y 1 = b x 2 + ( a m o d    b ) y 2 ax_1+by_1=bx_2+(a\mod b)y_2 ax1+by1=bx2+(amodb)y2
  ⟹   a x 1 + b y 1 = b x 2 + ( a − [ a b ] b ) y 2 \implies ax_1+by_1=bx_2+(a-[\frac{a}{b}]b)y_2 ⟹ax1+by1=bx2+(a−[ba]b)y2
  ⟹   a x 1 + b y 1 = a y 2 + b ( x 2 − [ a b ] y 2 ) \implies ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-[\frac{a}{b}]y_2) ⟹ax1+by1=ay2+b(x2−[ba]y2)

所以解得： x 1 = y 2     y 1 = x 2 − [ a b ] y 2 x_1=y_2\;\;\;y_1=x_2-[\frac{a}{b}]y_2 x1=y2y1=x2−[ba]y2

当我们已知 x 2 , y 2 x_2,y_2 x2,y2时，便可以往回推导得到 x 1 , y 1 x_1,y_1 x1,y1。可以发现，当 b = 0 b=0 b=0（即辗转相除结束）时，有 d = a , x = 1 d=a,x=1 d=a,x=1，所以可以得到一组 x , y x,y x,y： x = 1 , y = 0 x=1,y=0 x=1,y=0（ y y y可以为任意值，通常取0），然后以此解回推，即可得到一组特解 x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0。

模板：

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{if(b==0){x=1;y=0;d=a;}else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b)}
}

从特解到通解：

已解得一组特解 x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0，满足： a x 0 + b y 0 = gcd ⁡ ( a , b ) = d ax_0+by_0 =\gcd(a, b) =d ax0+by0=gcd(a,b)=d

对于： a x + b y = gcd ⁡ ( a , b ) = d ax+by =\gcd(a, b) =d ax+by=gcd(a,b)=d

其通解为： X = x 0 + k b d       Y = y 0 − k a d      ( k ∈ Z ) X=x_0+k\frac{b}{d}\;\;\;\;\;Y=y_0-k\frac{a}{d}\;\;\;\;(k\in Z) X=x0+kdbY=y0−kda(k∈Z)
对于： a x + b y = c ax+by =c ax+by=c

当且仅当 d ∣ c d|c d∣c（即 gcd ⁡ ( a , b ) \gcd(a,b) gcd(a,b)整除 c c c，或者说 c c c被 gcd ⁡ ( a , b ) \gcd(a,b) gcd(a,b)整除）时，有解，

其通解为： X = c d x 0 + k b d       Y = c d y 0 − k a d      ( k ∈ Z ) X=\frac{c}{d}x_0+k\frac{b}{d}\;\;\;\;\;Y=\frac{c}{d}y_0-k\frac{a}{d}\;\;\;\;(k\in Z) X=dcx0+kdbY=dcy0−kda(k∈Z)

应用：

①求解方程（形如 a x + b y = c ax+by =c ax+by=c）的特解/通解

例如要求求出平面内，直线 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c上在某些范围内的整数点。

②※ 求解线性同余方程： a x = c ( m o d b ) ax=c\pmod b ax=c(modb)

详见：线性同余方程的求解及模板题

③求单个逆元

求 a a a在 m o d    p \mod p modp下的逆元，设 a a a的逆元为 x x x

即求解线性同余方程： a x = 1 ( m o d p ) ax=1\pmod p ax=1(modp)