离散数学 01.03 映射

§1.3映射 \color{blue}{\S 1.3 映射}

定义1.3.1.设A,B是两个集合，若对A的每个元素a，规定了B的一个确定元素b与之对应，则称此对应为由A到B内的一个映射。定义1.3.1.设A,B是两个集合，若对A的每个元素a，规定了B的一个确定元素b与之\\ 对应，则称此对应为由A到B内的一个映射。
将此映射记为σ，于是对于任意a∈A,σ(a)表示B中与a对应之元素，称为a的映象，a称为b的原象。将此映射记为\sigma，于是对于任意a \in A, \sigma(a)表示B中与a对应之元素，称为a的映象\\ ，a称为b的原象。

定义1.3.2.设σ是A到B内的映射，如果B中每一个元素都一定是A中某元素的映像，就称σ是A到B上的映射(满射)。特别，A到A上的映射，称为变换。定义1.3.2.设\sigma是A到B内的映射，如果B中每一个元素都一定是A中某元素的映像\\ ，就称\sigma是A到B上的映射(满射)。特别，A到A上的映射，称为变换。

定义1.3.3.设σ是A到B内的映射，如果对任意a∈A,b∈B,且a≠b,都有σ(a)≠σ(b),就称σ是A到B的单射。定义1.3.3. 设\sigma是A到B内的映射，如果对任意a \in A,b \in B,且a \neq b,\\ 都有 \sigma(a) \neq \sigma(b),就称\sigma是A到B的单射。
映射是数学上一个基本概念，集合A上的一个二元关系R就可以看作是如下一个从集合A×A到集合{是,非}上的映射σ;对任意a 1 ,a 2 (都属于A)。σ((a 1 ,a 2 ))=是,当且仅当(a 1 ,a 2 )∈R。映射是数学上一个基本概念，集合A上的一个二元关系R就可以看作是如下一个\\ 从集合A \times A到集合\lbrace 是, 非 \rbrace上的映射\sigma;对任意a_1, a_2(都属于A)。\sigma((a_1, a_2)) = 是,当且仅当(a_1, a_2) \in R。

定义1.3.4.设σ是集合A到集合B内的映射。如果σ即是A到B的满射,又是A到B的单射,则称σ为A到B的1−1映射(双射)。定义1.3.4.设\sigma是集合A到集合B内的映射。如果\sigma即是A到B的满射,\\ 又是A到B的单射,则称\sigma为A到B的1-1映射(双射)。
若σ是集合A到集合B的1−1映射，则对于B中每个元素b都对应着A中以b为映像(在σ下)的那个元素,这个对应显然是集合B到A上的映射,我们称这个映射为σ的逆映射，记为σ −1 。显然,σ −1 也是1−1映射，并且对任意a∈A,都有σ −1 (σ(a))=a。若\sigma是集合A到集合B的1-1映射，则对于B中每个元素b都对应着A\\ 中以b为映像(在\sigma下)的那个元素,这个对应显然是集合B到A上的映射,\\ 我们称这个映射为\sigma的逆映射，记为\sigma^{-1}。显然,\sigma^{-1}也是1-1映射，\\ 并且对任意a \in A,都有\sigma^{-1}(\sigma(a)) = a。

定义1.3.5.设σ是集合A到集合B内的映射，τ是集合B到集合C的映射，对任意a∈A,规定(τ⋅σ)(a)=τ(σ(a)) 定义1.3.5.设\sigma是集合A到集合B内的映射，\tau是集合B到集合C的映射，\\ 对任意a \in A,规定(\tau \cdot \sigma)(a) = \tau (\sigma(a))
显然τ⋅σ是集合A到集合C内的映射，我们称此映射为映射τ与映射σ的乘积。显然\tau \cdot \sigma是集合A到集合C内的映射，我们称此映射为映射\tau与映射\sigma的乘积。
映射的乘积满足结合律，不满足交换律。映射的乘积满足结合律，不满足交换律。

1.3.1集合的基数 \color{blue}{1.3.1 集合的基数}

对于有限集合，其元素数可以数一数，知道它是多少。那么对于无穷集合又如何数它的元素数呢？我们把相当于有限集合的元素数的概念推广到一般集合，称之为集合的基数(势，浓度)。集合A的基数记为|A|。对于有限集合，其元素数可以数一数，知道它是多少。那么对于无穷集合又如何\\ 数它的元素数呢？我们把相当于有限集合的元素数的概念推广到一般集合，称之\\ 为集合的基数(势，浓度)。集合A的基数记为|A|。

定义1.3.6.设A，B为集合，若A与B之间存在1−1映射,则称A与B基数相同，也称A与B对等(等势，等浓),记为|A|=|B|。定义1.3.6.设A，B为集合，若A与B之间存在1-1映射,则称A与B基数相同，\\ 也称A与B对等(等势，等浓),记为|A| = |B|。
例如，自然数集合N与正偶数集合B对等，N到B是一个1−1映射为σ(n)=2n。例如，自然数集合N与正偶数集合B对等，N到B是一个1-1映射为\sigma(n) = 2n。
再如，区间集A=(0,1)与B(0,+∞)等浓,A到B的一个1−1映射为σ(x)=tg(x)。再如，区间集A = (0, 1)与B(0, +\infty)等浓,A到B的一个1-1映射为\sigma(x) = tg(x)。
集合A为有限集当且仅当它以某一非负整数为其基数，即存在一个非负整数n,使得|A|=n。即集合A的元素个数是n。我们把自然数集合的基数称为R 0 (读作阿列夫0),于是凡是与自然数集合对等的集合A，其基数|A|=R 0 。集合A为有限集当且仅当它以某一非负整数为其基数，即存在一个非负整数n,使得\\ |A| = n。即集合A的元素个数是n。我们把自然数集合的基数称为\mathfrak{R}_0(读作阿列夫0),\\ 于是凡是与自然数集合对等的集合A，其基数|A| = \mathfrak{R}_0。

定义1.3.7.设A，B是任意两个集合。(1)称A的基数小于等于B的基数，记为|A|≤|B|,如果有A到B单射σ或有B到A满射σ。(2)称A的基数小于B的基数，记为|A|<|B|，如果|A|≤|B|且|A|≠|B|。定义1.3.7.设A，B是任意两个集合。\\ (1)称A的基数小于等于B的基数，记为|A| \leq |B|,如果有A到B单射\sigma\\ 或有B到A满射\sigma。\\ (2)称A的基数小于B的基数，记为|A|
亦即，若A与B的某一子集有1−1对应关系，则|A|≤|B|;若A与B的某一子集有1−1对应关系，且A与B不存在1−1对应关系，则|A|<|B|。亦即，若A与B的某一子集有1-1对应关系，则|A| \leq |B|;若A与B的某一子集有\\ 1-1对应关系，且A与B不存在1-1对应关系，则|A|
上述定义是有限集合的元素个数有大小的推广。集合基数的关系≤具有反身性和传递性。上述定义是有限集合的元素个数有大小的推广。集合基数的关系\leq具有反身性和传递性。

定理1.3.1.若存在A的子集A ′ 和B的子集B ′ ，使得|A|=|B ′ |且|B|=|A ′ |,则|A|=|B|。即若|A|≤|B|且|B|≤|A|,则|A|=|B|。定理1.3.1.若存在A的子集A^{\prime}和B的子集B^{\prime}，使得|A| = |B^{\prime}|且|B| = |A^{\prime}|,\\ 则|A| = |B|。即若|A| \leq |B|且|B| \leq |A|,则|A| = |B|。

1.3.2可数集合 \color{blue}{1.3.2 可数集合}

定义1.3.8.一个集合，如果它的元素为有限个，或者它与自然数集合之间存在一个1−1映射，则称此集合为可数集合。否则称该集合为不可数集合。定义1.3.8.一个集合，如果它的元素为有限个，或者它与自然数集合之间存在\\ 一个1-1映射，则称此集合为可数集合。否则称该集合为不可数集合。
元素个数不是有限的可数集合称为可数无穷集合，对于可数无穷集合，可以把它的元素编号：a 1 ,a 2 ,⋯,a n ,⋯(1) 元素个数不是有限的可数集合称为可数无穷集合，对于可数无穷集合，\\ 可以把它的元素编号：\\ a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \quad (1)

定理1.3.2.可数集合的子集仍为可数集合。定理1.3.2.可数集合的子集仍为可数集合。
证：如果此可数集合为有限集合，则它的子集也有限，当然可数。如果此可数集合是无穷集合，则此集合的元素可写成(1)的形式。它的子集可以这样得到:从左向右看(1),第一个子集中元素的记为a i1 ,第二个子集中元素的记为a i2 ,⋯,于是，此子集的元素可排列为:a i1 ,a i2 ,⋯,a in ,⋯由定义知，此子集是可数集合。证：如果此可数集合为有限集合，则它的子集也有限，当然可数。\\ 如果此可数集合是无穷集合，则此集合的元素可写成(1)的形式。\\ 它的子集可以这样得到:从左向右看(1),第一个子集中元素的记\\ 为a_{i1}, 第二个子集中元素的记为a_{i2}, \cdots, 于是，此子集的元素可\\ 排列为:a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in}, \cdots \\ 由定义知，此子集是可数集合。

定理1.3.3.设A，B是可数集合，A∩B=ϕ,则A∪B是可数集合。定理1.3.3.设A，B是可数集合，A \cap B = \phi,则A \cup B是可数集合。
证:因为A，B是可数集合，所以可设A={a 1 ,a 2 ,⋯,a n ,⋯},B={b 1 ,b 2 ,⋯,b n ,⋯}。于是A∪B可以写成{a 1 ,b 1 ,a 2 ,b 2 ,⋯,a n ,b n ,⋯},且由A∩B=ϕ，知其中没有重复元。因此A∪B是可数集合。显然全体整数做成的集合是可数集合，并且用归纳法可证：有限个可数集合的并集是可数集合。证:因为A，B是可数集合，所以可设A = \lbrace a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \rbrace, \\ B = \lbrace b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots \rbrace。\\ 于是A \cup B可以写成\lbrace a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots, a_n, b_n, \cdots \rbrace,且由A \cap B = \phi，\\ 知其中没有重复元。因此A \cup B是可数集合。\\ 显然全体整数做成的集合是可数集合，并且用归纳法可证：\\ 有限个可数集合的并集是可数集合。

定理1.3.4.设A 1 ,A 2 ,⋯,A n ,⋯,是可数无穷多个可数集合的序列，则∪A n 是可数集合。即可数无穷多个可数集合的并集是可数集合。定理1.3.4.设A_1, A_2, \cdots, A_n, \cdots, 是可数无穷多个可数集合的序列，\\ 则\cup A_n是可数集合。即可数无穷多个可数集合的并集是可数集合。
证：不失一般性，设A 1 ,A 2 ,⋯,A n ,⋯,都是可数无穷集合，且为A 1 ={a 11 ,a 12 ,⋯,a 1n ,⋯}A 2 ={a 21 ,a 22 ,⋯,a 2n ,⋯}A 3 ={a 31 ,a 32 ,⋯,a 3n ,⋯}⋯⋯A n ={a n1 ,a n2 ,⋯,a nn ,⋯}⋯⋯对于任意的a ij ,规定按各元素i+j的和的大小排列，相同者按i的大小排序，如果当前排序者与前面已排好序的某元素相同则删去该当前元素，如此排下去，最后得={a 11 ,a 12 ,a 13 ,a 22 ,a 31 ,⋯,a 1n ,a 2(n−1) ,⋯,a n1 ,⋯}。由定义1.3.8可得是可数集合。证：不失一般性，设A_1, A_2, \cdots, A_n, \cdots, 都是可数无穷集合，且为\\ A_1 = \lbrace a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}, \cdots \rbrace \\ A_2 = \lbrace a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2n}, \cdots \rbrace \\ A_3 = \lbrace a_{31}, a_{32}, \cdots, a_{3n}, \cdots \rbrace \\ \cdots \cdots \\ A_n = \lbrace a_{n1}, a_{n2}, \cdots, a_{nn}, \cdots \rbrace \\ \cdots \cdots \\ 对于任意的a_{ij},规定按各元素i + j 的和的大小排列，相同者按i的大小排序，\\ 如果当前排序者与前面已排好序的某元素相同则删去该当前元素，如此排下\\ 去，最后得=\lbrace a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{22}, a_{31}, \cdots, a_{1n}, a_{2(n-1)}, \cdots, a_{n1}, \cdots \rbrace。\\ 由定义1.3.8可得是可数集合。

定理1.3.5.设A，B是可数无穷集合，则A×B是可数集合。定理1.3.5.设A，B是可数无穷集合，则A \times B是可数集合。
证：设A={a 1 ,a 2 ,⋯,a n ,⋯},B={b 1 ,b 2 ,⋯,b n ,⋯,}。于是A×B={(a i ,b j )|a i ∈A,b j ∈B}={(a 1 ,b 1 ),(a 1 ,b 2 ),(a 1 ,b 3 ),⋯,(a 1 ,b n ),⋯(a 2 ,b 1 ),(a 2 ,b 2 ),(a 2 ,b 3 ),⋯,(a 2 ,b n ),⋯(a 3 ,b 1 ),(a 3 ,b 2 ),(a 3 ,b 3 ),⋯,(a 3 ,b n ),⋯⋯(a n ,b 1 ),(a n ,b 2 ),(a n ,b 3 ),⋯,(a n ,b n ),⋯⋯}对上述花括号中元素按足标同定理1.3.4的证明方式进行处理排序，得A×B是可数集合。证：设A = \lbrace a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \rbrace, \\ B = \lbrace b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots, \rbrace。\\ 于是A \times B = \lbrace (a_i, b_j) | a_i \in A, b_j \in B \rbrace = \\ \lbrace (a_1, b_1), (a_1, b_2), (a_1, b_3), \cdots, (a_1, b_n), \cdots \\ (a_2, b_1), (a_2, b_2), (a_2, b_3), \cdots, (a_2, b_n), \cdots \\ (a_3, b_1), (a_3, b_2), (a_3, b_3), \cdots, (a_3, b_n), \cdots \\ \cdots \\ (a_n, b_1), (a_n, b_2), (a_n, b_3), \cdots, (a_n, b_n), \cdots \\ \cdots \rbrace \\ 对上述花括号中元素按足标同定理1.3.4的证明方式进行处理排序，\\ 得A \times B是可数集合。

由此定理我们可以得到:有理数集合是可数集合。这是因为任意有理数都是可以表示成p/q形式，其中p∈I(整数集合),q∈I−{0}。于是有理数集合与集合I×(I−{0})={(p,q)|p∈I,q∈I−{0}}的子集可以建立自然的1−1映射，而I×(I−{0})是可数集合，故有理数集合是可数集合。由此定理我们可以得到:有理数集合是可数集合。这是因为任意有理数都是可以\\ 表示成p/q形式，其中p \in I(整数集合),q \in I - \lbrace 0 \rbrace。于是有理数集合与集合\\ I \times (I - \lbrace 0 \rbrace) = \lbrace (p, q) | p \in I, q \in I - \lbrace 0 \rbrace \rbrace的子集可以建立自然的1-1\\ 映射，而I \times (I - \lbrace 0 \rbrace)是可数集合，故有理数集合是可数集合。
进一步，使用归纳法可证：若A 1 ,A 2 ,⋯,A n 是可数集合，则A 1 ×A 2 ×⋯×A n 是可数集合。进一步，使用归纳法可证：\\ 若A_1, A_2, \cdots, A_n是可数集合，则A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n是可数集合。

1.3.3不可数集合 \color{blue}{1.3.3 不可数集合}

前面讨论的无穷集合都是可数集合，并且知道了在数轴上稠密的有理数集合也可以与自然数集合建立1−1对应关系，那么是不是所有的无穷集合都是可数集合呢? 前面讨论的无穷集合都是可数集合，并且知道了在数轴上稠密的有理数集合\\ 也可以与自然数集合建立1-1对应关系，那么是不是所有的无穷集合都是\\ 可数集合呢?

定理1.3.6.全体实数做成的集合是不可数集合。定理1.3.6.全体实数做成的集合是不可数集合。
证：由定理1.3.2知，只要证明(0,1)区间的实数不可数就可以了。若不然，我们可以把(0,1)区间内的数排成一个数列: 证：由定理1.3.2知，只要证明(0, 1)区间的实数不可数就可以了。\\ 若不然，我们可以把(0, 1)区间内的数排成一个数列:
0.a 11 a 12 a 13 ⋯0.a 21 a 22 a 23 ⋯0.a 31 a 32 a 33 ⋯⋮ ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (2) \left. \begin{array}{l}0.a_{11}a_{12}a_{13} \cdots \\ 0.a_{21}a_{22}a_{23} \cdots \\ 0.a_{31}a_{32}a_{33} \cdots \\ \quad \vdots \quad \end{array} \right \rbrace \qquad (2)
我们考虑下面的数：我们考虑下面的数：
0.r 1 r 2 ⋯r k ⋯(3) 0.r_1 r_2 \cdots r_k \cdots \qquad (3)
其中其中
r k ={1,当a kk ≠12,当a kk =1 k=1,2,⋯, r_k = \left \lbrace \begin{array}{l}1, 当a_{kk} \neq 1 \\ 2, 当a_{kk} = 1 \end{array} \right. k = 1, 2, \cdots,
(3)是(0,1)区间内的数，但它却不是序列(2)中的任何一个数。事实上，对(2)中任何一个0.a k1 a k2 ⋯a kk ⋯,因为r k ≠a kk ,故0.a k1 a k2 ⋯a kk ⋯≠0.r 1 r 2 ⋯r k ⋯,与假设矛盾。故(0,1)区间内的实数不可数，所以实数不可数。 (3)是(0, 1)区间内的数，但它却不是序列(2)中的任何一个数。事实上，\\ 对(2)中任何一个0.a_{k1}a_{k2}\cdots a_{kk} \cdots, 因为r_k \neq a_{kk},\\ 故0.a_{k1}a_{k2} \cdots a_{kk} \cdots \neq 0.r_1r_2\cdots r_k\cdots,与假设矛盾。\\ 故(0, 1)区间内的实数不可数，所以实数不可数。

上述定理的证明方法，就是著名的“康托尔对角线法”,该方法在可计算理论中有广泛的应用。上述定理的证明方法，就是著名的“康托尔对角线法”,\\ 该方法在可计算理论中有广泛的应用。

推论：实数集合R，区间(a,+∞),[a,b],[a,b),(a,b],a≠b都是不可数的，且与区间(0,1)等浓。推论：实数集合R，区间(a, +\infty),[a, b], [a, b), (a, b], a \neq b都是不可数的，\\ 且与区间(0, 1)等浓。

我们仅看构造区间[0,1]与(0,1)之间1−1映射的例子。我们知道全体有理数的集合是可数的，于是(0,1)区间内的有理数是可数的，不妨将它们排成形式为(1)的序列。而闭区间[0,1]比区间(0,1)多两个数0,1,它们是有理数，于是可建立闭区间[0,1]中的有理数到区间(0,1)中的有理数的1−1映射σ 1 如下图。我们仅看构造区间[0, 1]与(0, 1)之间1-1映射的例子。\\ 我们知道全体有理数的集合是可数的，于是(0, 1)区间内的有理数是可数的，\\ 不妨将它们排成形式为(1)的序列。而闭区间[0, 1]比区间(0, 1)多两个数0,1,\\ 它们是有理数，于是可建立闭区间[0, 1]中的有理数到区间(0, 1)中的有理数\\ 的1-1映射\sigma_1如下图。
0,↓a 1 , 1,↓a 2 , a 1 ,↓a 3 , a 2 ,↓a 4 , ⋯,⋯, a n ,↓a n+2 , ⋯⋯ \left. \begin{array}{l c c } 0, & 1, & a_1, & a_2, & \cdots, & a_n, & \cdots \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \\ a_1, & a_2, & a_3, & a_4, & \cdots, & a_{n+2}, & \cdots \end{array} \right.
令区间[0,1]中的无理数到区间(0,1)中的无理数的1−1映射σ 2 为自己映成自己。则映射σ=σ 1 ∪σ 2 为区间[0,1]到区间(0,1)的1−1映射。从而区间[0,1]与(0,1)等浓。令区间[0, 1]中的无理数到区间(0, 1)中的无理数的1-1映射\sigma_2为自己映成自己。\\ 则映射\sigma = \sigma_1 \cup \sigma_2为区间[0, 1]到区间(0, 1)的1-1映射。从而区间[0, 1]与\\ (0, 1)等浓。

我们设实数集合的基数为c。我们设实数集合的基数为c。

定理1.3.7.设A 1 ,A 2 ,⋯,A n ,⋯,是互不相交的集合序列，它们的基数都是c,则⋃ i=1 ∞ A i 的基数也是c。即可数个基数为c的集合的并集基数仍为c。定理1.3.7.设A_1, A_2, \cdots, A_n, \cdots, 是互不相交的集合序列，它们的基数都是c,\\ 则\bigcup \limits _{i=1}^{\infty}A_i的基数也是c。即可数个基数为c的集合的并集基数仍为c。
证：设I n =[n−1,n),则当m≠n时，I m ∩I n =ϕ。因为I n (n=1,2,⋯)的基数是c,故存在1−1映射σ 1 ,σ 2 ,⋯,使得σ n (I n )=A。令σ=⋃ n=1 ∞ σ n ,则σ是⋃ i=1 ∞ I i =[0,+∞)到⋃ i=1 ∞ A i 的1−1映射。从而⋃ i=1 ∞ A i 与[0,+∞)等浓，由推论知其基数为c。证：设I_ n = [n-1, n),则当m \neq n时，I_ m \cap I_ n = \phi。\\ 因为I_n(n =1, 2, \cdots)的基数是c,\\ 故存在1-1映射\sigma_1, \sigma_2, \cdots, 使得\sigma_n(I_n) = A。\\ 令\sigma = \bigcup \limits _ {n=1}^{\infty} \sigma_n,则\sigma是\bigcup \limits _ {i=1}^{\infty} I_i = [0, +\infty)到\bigcup \limits _ {i=1}^{\infty} A_i的1-1映射。\\ 从而\bigcup \limits _ {i=1}^{\infty}A_i与[0, +\infty)等浓，由推论知其基数为c。
实际上还有更进一步的结果：可数个基数为c的集合的直积基数仍为c。从而R 2 ,⋯,R n 的基数为c。实际上还有更进一步的结果：\\ 可数个基数为c的集合的直积基数仍为c。从而R^2, \cdots, R^n的基数为c。

定理1.3.8.集合A的元素不能与A的所有子集建立1−1映射。定理1.3.8.集合A的元素不能与A的所有子集建立1-1映射。
证：假设σ为A到A的所有子集作元素的集合上的1−1映射。令B={x|x∈A并且x∉σ(x)}。于是，存在唯一一个元素b∉A,使得σ(b)=B,若b∈B,则由B的定义知,b∈σ(b),即b∉B,矛盾。若b∉B,即b∉σ(b),于是由B的定义知，b∈B,矛盾。因此，在A与A的所有子集作元素的集合之间，不能建立1−1映射。证：假设\sigma为A到A的所有子集作元素的集合上的1-1映射。\\ 令B=\lbrace x| x \in A 并且 x\not \in \sigma(x) \rbrace。\\ 于是，存在唯一一个元素b \not \in A, 使得\sigma(b) = B, \\ 若b \in B,则由B的定义知,b \in \sigma(b), 即b \not \in B,矛盾。\\ 若b \not \in B,即b \not \in \sigma(b),于是由B的定义知，b \in B,矛盾。\\ 因此，在A与A的所有子集作元素的集合之间，不能建立1-1映射。

有了定理1.3.8，我们就可以构造基数任意大的集合。如|R|<|2 R |<|2 2 R |<⋯。我们知道集合基数的≤关系是一个全序关系，把大于等于R 0 的基数分别记为R 0 ,R 1 ,R 2 ,R 3 ,⋯,满足R 0 <R 1 <R 2 <R 3 <⋯。假设R 1 =c,著名的“连续统问题”是：即能否找到一个实数集的子集，它是不可数集合，但又不能与实数集合建立一一对应。现在已经证明了：证明连续统假设成立是不可能的；证明它不成立也是不可能的。因此，所谓“连续统问题”在现在的数学理论框架之中是不能判定的。有了定理1.3.8，我们就可以构造基数任意大的集合。如|R|