【数论】第1章整数的可除性第2节整数的表示

2024-06-26 12:21:09

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数论算法，姜建国、臧明相编著，西安电子科技大学出版社

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定理1.2.1 设 ppp 是大于 111 的正整数，则每个正整数 nnn 可以唯一地表示成
n=akpk+ak−1pk−1+⋯+a1p+a0n = a_k p^k + a_{k - 1}p^{k - 1} + \dots + a_1p + a_0n=akpk+ak−1pk−1+⋯+a1p+a0 其中 aia_iai 为正整数，0≤ai<p(i=0,1,…,k)0 \le a_i \lt p\ (i = 0, 1, \dots, k)0≤ai<p (i=0,1,…,k) 且首项系数 ak≠0a_k \ne 0ak=0（即 pk≤n<pk+1p^k \le n \lt p^{k + 1}pk≤n<pk+1 ）
证明令 n0=nn_0 = nn0=n ，则由定理1.1.3知，必存在唯一的一对整数 n1,a0(p>1,0≤a0<p)n_1, a_0\ (p > 1, 0 \le a_0 \lt p)n1,a0 (p>1,0≤a0<p) ，使得
n0=n1p+a0n_0 = n_1p + a_0n0=n1p+a0

若 n1<pn_1 \lt pn1<p ，则令 a1=n1a_1 = n_1a1=n1 ，即得 n=a1p+a0n = a_1p + a_0n=a1p+a0 ，且 a1,a0a_1, a_0a1,a0 唯一。
若 n1>pn_1 \gt pn1>p ，则由定理1.1.3知，必存在唯一的一对整数 n2,a1(p>1,0≤a1<p)n_2, a_1\ (p > 1, 0 \le a_1 < p)n2,a1 (p>1,0≤a1<p) ，使得 n1=n2p+a1n_1 = n_2p + a_1n1=n2p+a1

即 n0=n2pp+a1p+a0n_0 = n_2p^p + a_1p + a_0n0=n2pp+a1p+a0

同理，若 n2<pn_2 < pn2<p ，则令 a2=n2a_2 = n_2a2=n2 ，即得 n=a2p2+a1p+a0n = a_2p^2 + a_1p + a_0n=a2p2+a1p+a0 ，且 a2,a1,a0a_2, a_1, a_0a2,a1,a0 唯一……以此类推，即知结论成立。

定义1.2.1 用 n=(akak−1…a1a0)pn = (a_ka_{k-1} \dots a_1a_0)_pn=(akak−1…a1a0)p 表示展开式
n=akpk+ak−1pk−1+⋯+a1p+a0n = a_k p^k + a_{k - 1}p^{k - 1} + \dots + a_1p + a_0n=akpk+ak−1pk−1+⋯+a1p+a0

其中 0≤ai<p(i=0,1,…,k),ak≠00 \le a_i \lt p\ (i = 0, 1, \dots, k),\ a_k \ne 00≤ai<p (i=0,1,…,k), ak=0（即 pk≤n<pk+1p^k \le n \lt p^{k + 1}pk≤n<pk+1 ），并称其为整数 nnn 的 ppp 进制表示。

推论每个正整数都可以表示成不同的 222 的幂的和（快速乘、快速幂算法的倍增思想来源）。因为对于二进制而言，系数 aia_iai 只能为 000 或 111 。

对整数而言，常用的数制转换方法如下：

十进制转换为 ppp 进制：除 ppp 取余法（除 ppp 取余倒排）。
ppp 进制转换为十进制：用展开式计算（按位乘权相加）。

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