无向图G=(V,E)的二分图判断

二分图的概念

无向图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)的顶点集VVV可分为两个集合V1V_1V1，V2V_2V2，s.t.∀(u,v)∈E,∃u∈V1,v∈V2\: s.t. \: \forall (u,v) \in E, \: \exists \: u\in V_1,v \in V_2s.t.∀(u,v)∈E,∃u∈V1,v∈V2 或u∈V2,v∈V1u\in V_2,v \in V_1u∈V2,v∈V1，则称图GGG为二分图，即所有的边都位于V1V_1V1和V2V_2V2之间。

判断方法

判断二分图的常用方法为染色法。通过遍历整个无向图GGG，对图中的顶点进行有规律的染色。

染色步骤为：选择一个起始顶点uuu，将其染成黑色BLACKBLACKBLACK；然后遍历所有与uuu相邻的顶点vvv，将vvv染成白色WHITEWHITEWHITE；同时再将与顶点vvv相邻的顶点www，将www染成黑色BLACKBLACKBLACK；依次进行下去，直到遍历结束。

若图中还有顶点未遍历，则重复上述染色步骤。

如果我们能够完成染色步骤，那么该无向图为二分图。

如果染色过程中产生了冲突，即当遍历到某个顶点xxx时，该顶点已经染色，并且xxx的颜色与我们准备给其染成的颜色不一致，则表示该无向图不是二分图。

判断二分图的过程

可以使用深度优先搜索或广度优先搜索对无向图进行遍历。

考虑到无向图可能是一个非连通图，因此需要多次执行广度优先搜索或深度优先搜索才能完全遍历所有的顶点。

BFS Pseudocode

G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)

∀\forall∀ 顶点u∈Vu\in Vu∈V，定义visited[u]visited[u]visited[u]存储搜索过程中顶点uuu的染色情况：

UNVISITEDUNVISITEDUNVISITED：未访问状态。
WHITEWHITEWHITE：标记为白色。
BLACKBLACKBLACK：标记为黑色。

定义First-in, first-out (FIFO)队列QQQ，存放搜索中的顶点。

BFS-Pseudocode(G)// 初始化顶点的颜色for every u in V[G]visited[u] = UNVISITED//初始化队列Q = nil// 遍历无向图的全部顶点，进行染色for every u in V[G]if visited[u] == UNVISITED thenresult = BFS(u)do if result == false thenreturn falsereturn true

BFS(u)// 开始搜索时设置源顶点u的颜色为BLACK，并放入队列中Q.push(u)visited[u] = BLACK// Q队列存放搜索中的顶点；该顶点已被染色，但其邻接表的顶点还尚未被染色while Q  is not emptydo u = Q.pop()for v in Adj[u] // 顶点u的邻接表do if  visited[v] == UNVISITED then // 对未访问的顶点染成与u相反的颜色visited[v] = visited[u] == WHITE ? BLACK: WHITEQ.push(v)else if visited[u] == visited[v] then // 染色过程中产生了冲突return false // 不是二分图else thentrivialreturn true

DFS Pseudocode

DFS-Pseudocode(G)// 初始化顶点的颜色for every u in V[G]visited[u] = UNVISITED// 判断结果result = true// 遍历无向图的全部顶点，进行染色for every u in V[G]if visited[u] == UNVISITED thenDFS(u, BLACK)do if result == false thenreturn falsereturn true

DFS(u, color)// 顶点u的染色为colorvisited[u] = colorfor v in Adj[u] // 顶点u的邻接表do if  visited[v] == UNVISITED then// 对未访问的顶点染成与u相反的颜色reverseColor = color == WHITE ? BLACK: WHITEDFS(v, reverseColor)do if result == flase then // 深度遍历过程中，提前判断，提前结束returnelse if color == visited[v] then // 染色过程中产生了冲突result = false // 不是二分图returnelse thentrivial