牛顿迭代法求平方根（C++）

简介：牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

求n的平方根，即计算x^2= n的解，令f(x)=x^2-n，相当于求解f(x)=0的解。
1.首先取猜测x0（例如可以设初次猜测值为x/2），如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。同理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。以此类推。以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

2.判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法： 第一种是直接计算f(xi)的值判断是否为0，第二种是判断前后解xi和xi-1是否无限接近（在本题目要求二者差值小于0.000000001）。经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f’(xi)(x - xi)+f(xi) ，其中f’(x)为f(x)的导数。(本例中为2x。)令切线方程等于0，即可求出x(i+1)=xi - f(xi) / f’(xi)。在此题中，化简可得到迭代公式x(i+1)=xi - (xi^2 - n) / (2xi)

C++代码如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{double x0,x1,n;cin>>n;x0=n/2;x1=x0-(x0*x0-n)/(2*x0); while(abs(x0-x1)>=1e-9) //abs是指取绝对值的意思{x0=x1;x1=x0-(x0*x0-n)/(2*x0);}cout<<x1;return 0;
}

在这里只用f(x)=x^2作为例子，还可以求解项数较少的多项式(比如说一元三次方程式的根)

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