线性代数（五）-矩阵的初等变换

一、矩阵的初等变换

PS：以上变换皆可逆；

其中，有

（1）行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，

阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元；

（2）行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0；

PS：对于任何矩阵，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；

（3）标准形：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0；

PS：对于m*n矩阵，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形；

二、初等变换的基本性质

归纳以上，可得

推论：方阵A可逆的充分必要条件是

PS：因A可逆的充分必要条件是A可由数个初等矩阵相乘而得，则可通过变换成E；

PS：本例中的可逆矩阵P不是唯一的；

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