高等数学：第六章 定积分的应用（1） 广义积分
§5.7 广义积分
【引例】计算曲线 
与
轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。
按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为 
。
显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。
该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：
编程计算
的值，并作出这些值的图象，观察图象是否逼近于一条固定的直线。
请运行matlab程序gs0504.m。
一、积分区间为无穷区间的广义积分
【定义一】
设函数
在区间
上连续， 任取 
，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，并记作
,亦即
此时，也称广义积分收敛；
如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数 在区间
上连续，任取 
，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，
记作 
，亦即
此时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数在区间
上连续，如果广义积分
与 
同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分，记作
。
亦即
这时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。
上述积分称为无穷限的广义积分。
【反例】 
但 
发散,因此，是发散的。
【例1】计算广义积分 
解：
显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。
【例2】计算广义积分 
。
解：
观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：
请注意：将上下限
代入原函数时，意味着取极限
这样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。
【例3】证明广义积分
当 
时收敛； 当
发散。
解：若 
若 
二 无界函数的广义积分
【定义二】
设函数 在区间
上连续， 且
，取 
，
如果极限
存在，则称此极限值为函数 在区间上的广义积分，记作 
。亦即
此时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。点
称之为奇点。
类似地，有
设函数 在区间
上连续，且
，取 ，如果极限
存在，则称此极限值为函数在区间上的广义积分，记作 。亦即
此时， 也称广义积分收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。点 
称之为奇点。
类似地， 又有
设函数在
上除
外均连续， 且
，
如果两个广义积分 
与 
均收敛， 则定义广义积分
否则称广义积分发散。点 
称之为奇点
注明：上式中的
与
不一定是相同的。
【例4】求 
解：
，
故 
奇点。
注明：为了简便，上述过程也可写成
【例5】讨论
的敛散性。
解：
,故 
是奇点。
故 
发散，从而， 原广义积分
亦发散。
此题若忽视是奇点，将积分当作普通积分来处理，会导致错误解法
【例6】证明广义积分
当
时收敛；当
时发散。
解：当 
时， 是奇点，
广义积分 
，
故广义积分 
发散；
当 时，
故广义积分 收敛；
当时，
故广义积分 发散；
综合得：
高等数学：第六章 定积分的应用（1） 广义积分相关推荐
- 应用数学软件测试题,高等数学第六章定积分应用综合测试题
<高等数学第六章定积分应用综合测试题>由会员分享,可在线阅读,更多相关<高等数学第六章定积分应用综合测试题(9页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.第六章 定积分应用测试题A ...
- 高等数学：第五章 定积分（6） 广义积分
§5.7 广义积分 [引例]计算曲线 与轴的正半轴所围的曲边梯形的面积. 按照定积分的几何意义,所求的曲边梯形面积应为 . 显然,这一积分再不是普通的定积分,因为它的积分上限是正无穷大. 该如何来求 ...
- 李永乐复习全书高等数学 第六章 多元函数积分学
目录 6.1 重积分 例9 计算二重积分∬Dy2dσ\displaystyle\iint\limits_{D}y^2\mathrm{d}\sigmaD∬y2dσ,其中DDD由{x=a(t−sin ...
- 高等数学：第六章 定积分的应用（2）平面曲线的弧长 做功 水压力 引力
§6.4 平面曲线的弧长 一.直角坐标情形 设函数在区间上具有一阶连续的导数,计算曲线的长度. 取为积分变量,则,在上任取一小区间,那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似. 于是 ...
- 高等数学：第六章 定积分的应用（1）定积分的应用 平面图形的面积 立体体积
§6.1 定积分的元素法 一 再论曲边梯形面积计算 设在区间上连续,且,求以曲线为曲边,底为的曲边梯形的面积. 1.化整为零 用任意一组分点 将区间分成 个小区间,其长度为 并记 相应地,曲边 ...
- 高等数学：第六章 定积分的应用（5）功、水压力和引力
§6.5 功.水压力和引力 一.变力沿直线所作的功 [例1]半径为的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的比重为 1 ,现将这球从水中取出,需作多少功? 解:建立如图所示的坐标系 将高为的球缺取出水面 ...
- 【考研高数-高等数学-基础】第六章 定积分的应用
文章目录: 一:几何应用 1.平面图形与面积 2.旋转体体积 3.曲线弧长(数三不要求)
- 第六章 定积分的应用 —— 第一节 定积分的元素法
定积分的元素法是在应用定积分的理论来分析和解决一些几何,物理中的问题时,需要将一个量表达成为定积分的分析方法. 步骤 一般的,如果某一实际问题中的所求量U符合下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区 ...
- 高数第六章 定积分的应用
定积分的元素法(很重要): 求平面图形的面积(直角坐标系,极坐标系): 体积(旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体体积): 平面曲线的弧长. 物理学上的应用. 这些内容国外叫单变量微积分,很准确.这 ...
最新文章
- VS2010 ，工程文件减肥
- JavaWeb总结(四)—JSP深入解析
- JSR 303 - Bean Validation与Hibernate Validation 介绍
- 20w7珠led驱动电源电路图_LED驱动电源：用TL431做的几个恒流电路分享！
- css实现发光的input输入框
- 一条SQL的奇妙旅行
- Gzip,BZip2,Lzo,Snappy比较
- 索佳电子水准数据传输软件_索佳全站仪数据传输软件
- fabric usage
- 190602每日一句
- Java将视频文件、图片文件转Base64编码
- 工具 | 实用的嵌入式软件测试工具
- GIS中的矢量数据、栅格数据
- 去中心化的联邦学习专栏
- 汉洛塔hanoi递归问题
- Nginx+Tomcat 搭建负载均衡、动静分离（tomcat多实例）
- 常用开源监控系统分析推荐（必备知识）｜附优质监控书籍资源
- 揭秘你喜欢的3D电影、游戏角色的制作过程！
- （十四）从零开始学人工智能-深度学习基础及CNN
- 《面试题》一、Java基础