二体问题之4：速度分量及活力公式

2024-07-07 04:35:01

注：笔记，恳请批评指正。

1. 速度关系

已知[[积分常数]]能量E是常值，且与速度有关
E = v 2 2 − μ r = − μ 2 a v = 2 μ r − μ a = v r 2 + v u 2 \begin{aligned} &E=\frac{v^{2}}{2}-\frac{\mu}{r}=-\frac{\mu}{2 a} \\ &v=\sqrt{\frac{2 \mu}{r}-\frac{\mu}{a}}=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{u}^{2}} \end{aligned} E=2v2−rμ=−2aμv=r2μ−aμ =vr2+vu2

其中， v r v_{r} vr是径向速度矢径大小改变， v u v_{u} vu是切向速度意味着矢径方向改变。
v ⃗ = r ⃗ ˙ = r ˙ ( r ⃗ r ) + r θ ˙ = v ⃗ r + v u → \begin{aligned} \vec{v}=\dot{\vec{r}} &=\dot{r}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)+r \dot{\theta} \\ &=\vec{v}_{r}+\overrightarrow{v_{u}} \end{aligned} v =r ˙=r˙(rr )+rθ˙=v r+vu
即 v r = r ˙ = d r d t , v u = r d θ d t v_{r}=\dot{r}=\frac{d r}{d t}, \quad v_{u}=r \frac{d \theta}{d t} vr=r˙=dtdr,vu=rdtdθ

根据以上定义 r ˙ = d r d t = d r d θ ⋅ d θ d t \dot{r}=\frac{d r}{d t}=\frac{d r}{d \theta} \cdot \frac{d \theta}{d t} r˙=dtdr=dθdr⋅dtdθ，这两个速度分量还存在关系
v r = d r d θ ⋅ v u r v_{r}=\frac{d r}{d \theta} \cdot \frac{v_{u}}{r} vr=dθdr⋅rvu

且数值上，
v 2 = v r 2 + v u 2 v^{2}=v_{r}^{2}+v_{u}^{2} v2=vr2+vu2

2. 活力公式

由于 v u v_{u} vu垂直于矢径，
h = ∣ r ⃗ × v ⃗ ∣ = r v u = p μ h=|\vec{r} \times \vec{v}|=r v_{u}=\sqrt{p \mu} h=∣r ×v ∣=rvu=pμ
带入表示r的[[航天器轨道方程]]，则
v u = μ p ( 1 + e cos ⁡ θ ) v_{u}=\sqrt{\frac{\mu}{p}}(1+e \cos \theta) vu=pμ (1+ecosθ)

同时根据两个速度分量的关系
v r = d t d θ ⋅ v u r = e P sin ⁡ θ ( 1 + e cos ⁡ θ ) 2 ⋅ μ p ( 1 + cos ⁡ θ ) ⋅ 1 + e cos ⁡ θ p = μ p e sin ⁡ θ \begin{aligned} v_{r} &=\frac{d t}{d \theta} \cdot \frac{v u}{r} \\ &=\frac{e P \sin \theta}{(1+e \cos \theta)^{2}} \cdot \sqrt{\frac{\mu}{p}}(1+\cos \theta) \cdot \frac{1+e \cos \theta}{p} \\ &=\sqrt{\frac{\mu}{p}} e \sin \theta \end{aligned} vr=dθdt⋅rvu=(1+ecosθ)2ePsinθ⋅pμ (1+cosθ)⋅p1+ecosθ=pμ esinθ
得到活力公式
{ v u = u p ( 1 + e cos ⁡ θ ) v r = μ p e sin ⁡ θ \left\{\begin{array}{l} v_{u}=\sqrt{\frac{u}{p}}(1+e \cos \theta) \\ v_{r}=\sqrt{\frac{\mu}{p}} e \sin \theta \end{array}\right. ⎩⎨⎧vu=pu (1+ecosθ)vr=pμ esinθ

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