问题来源

有时候，读书不用心，或者不求甚解，错误知识的细微末节累积起来就可能给日后的自己带来一系列无法理解的“悖论”或“佯谬”。即，从思路AA看一个问题，得到导出命题 ArA_r; 从本该或想当然等价于AA的思路A′A'看同一个问题，导出了命题 BrB_r，而且显然 Ar≠BrA_r\ne B_r，然后陷入纠结之中。——不过，发现或创造新的知识体系似乎也是这么来的。

注意到有两个问题是值得关注的，可能是谬误的解题思路的源泉：

第一个. 对常见的椭圆参数方程中参数几何意义的错误理解；
第二个. 对曲线形态跟某个微小参数之间变化趋势的理解则纯属钻牛角尖加既夯又懒所致。

——本来夯就不适合搞研究，勤能补拙你不勤，钻牛角尖则说明偏执，子曾经曰过的“朽木不可雕也、粪土之墙不可圬也”就是说的这里的第二种。

解读两种误解

这里提两个。

椭圆参数方程的参数意义及极坐标

{x=y=acostbsint,t∈[0,2π]

\left\{\quad \begin{array}{cl} x=&\!\!\!\!\! a \cos t\\ y=&\!\!\!\!\! b \sin t \\ \end{array} \right.,\quad t\in[0,2\pi]

这里的参数 tt 几何意义一般情况下(尤其指 a≠ba\ne b 时)并不是椭圆上参数为 tt 时的点与原点之间连线与xx轴的夹角，或者，极坐标系下自然参数 θ\theta角。

写出椭圆的极坐标方程是要这样的，找出椭圆上任意一点 (x,y)(x,y)，计算该点到原点的距离得到 ρ\rho，计算该点与 (0,0)(0,0) 连线的正切角得到 θ\theta。

用上面的椭圆参数方程的话 ρ=a2cos2t+b2sin2t\rho=a^2\cos^2t+b^2\sin^2t 无法消去什么；再看 θ=tan−1(yx)=tan−1(bsintacost)=tan−1(batan(t))\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{b\sin t}{a\cos t}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\tan (t)\right), 可见只要 a≠ba\ne b则θ\theta 与t t 几何意义并不等价。

把椭圆参数方程写成隐函数形式(目的是消去几何意义很别扭的参数 tt)得到：

b2x2+a2y2−a2b2=0

b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0
然后把极坐标下的等式

{x=y=ρcosθρsinθ,θ∈[0,2π]

\left\{\quad \begin{array}{cl} x=&\!\!\!\!\! \rho \cos \theta\\ y=&\!\!\!\!\! \rho \sin \theta \\ \end{array} \right.,\quad \theta\in[0,2\pi]
代入，得到关于 ρ\rho的一元二次方程。解出 (ρ≥0)(\rho\ge 0)的根就是椭圆的极坐标方程：

ρ(θ)=aba2sin2θ+b2cos2θ−−−−−−−−−−−−−−−√

\rho(\theta) = \frac{a b}{\sqrt{a^2 \sin ^2\theta +b^2 \cos ^2\theta }}

从而求椭圆弧长的时候总能碰上椭圆积分：

∫π2+βπ2−βa2b2(b4cos2t+a4sin2t)(b2cos2t+a2sin2t)3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷dt

\displaystyle\int_{\tfrac{\pi }{2}-\beta }^{\tfrac{\pi }{2}+\beta} \sqrt{\dfrac{a^2b^2\left(b^4 \cos^2t+a^4\sin^2t\right)}{\left(b^2\cos^2t+a^2 \sin^2t\right)^3}}\, {\rm d}t

函数某个参数微调下的剧变？

有人纠结于为什么

y1(x)=(1+1x)x

y_1(x)=\left(1+\frac{1}x\right)^x
跟

y2(x)=(1+1x)1+x

y_2(x)=\left(1+\frac{1}x\right)^{1+x}
函数形态的巨大差异，在区间 x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty)上一个递增、一个递减。求个导数就很清楚了。仍然纠结。

在如此简单的小问题上纠结，而不是自己解决，这种人不适合搞数学相关研究——智商悟性和勤奋都不足；此外，纠结通常是有些偏执的（狂不狂不知道，听说成功人士乔布斯也偏执狂，不过智商呢？），这意味着民科潜质；何况，提问题抓不住重点，抛出来之后效果形同让人一直猜你到底纠结什么：懒惰又不善于表达和沟通。——提这问题的人，我真替你捉急。

注意到一个突变，当参数kk只须是一个大于 00的但可以任意小的正常数(比如0.0000000000000010.000000000000001)，则：

limx→0(1+1x)x=1

\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\frac{1}x\right)^x=1
但是

limx→0(1+1x)k+x→+∞

\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\dfrac{1}x\right)^{k+x}\to +\infty
尔后看 kk 从一个较小的数值逐渐增大到 11 过程中 (1+1x)k+x(1+\dfrac{1}x)^{k+x} 的趋势变化即可。这用Geogebra即可动态展示。

随着 kk 从 00 开始逐渐增大，曲线y2(x)y_2(x)形状由跟y1(x)y_1(x)重合到最终的渐变。

隐藏 y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-172">y</script> 坐标轴也许更清楚：

两个问题的解释：椭圆极坐标方程和某函数的极限相关推荐

python解椭圆方程的例题_《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
X 1 + X 2 二 X M 1 一 2 1 a 2 2~ , a 1 1 a 2 <椭圆>方程典型例题 20 例典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为 A 2,0 ,其长轴长是短轴长的 ...
过椭圆外一点引两条切线方程_过椭圆上任意一点的切线方程引发的思考与结论...
过椭圆上任意一点的切线方程引发的思考与结论邓魁甲江西省赣州市第三中学 341000 最近笔者在讲授高三第一轮复习时遇见复习资料上一个题目:过椭圆外一点向椭圆作切线,与椭圆切于两点,可知经过 ...
Matplotlib复习（1）——绘制三角函数曲线、正态分布曲线、圆锥曲线、极坐标方程（心形线、玫瑰线、阿基米德螺线）、3D图（球、马鞍面）
文章目录 0 前置 1 基础API--绘制三角函数曲线 2 图例.注释.文本--绘制正态分布曲线 3 轮廓--绘制圆锥曲线 4 绘制极坐标方程(心形线.玫瑰线.阿基米德螺线) 5 3D图(球.马鞍面) ...
MATLAB显函数作图参数方程作图极坐标方程作图绘图实例用 Matlab 绘制高颜值函数图像放大看告别浓浓锯齿风
1.1 显函数作图 1.2 参数方程作图 1.3 极坐标方程作图 1.1 显函数作图图1. 图2. % Eg001 % fplot 用法 clf x = linspace(-6,6,10 ...
给一条直线和一个椭圆的方程，它们相交于两点，求交点与原点所构成的三角形的面积的最大值
给一条直线和一个椭圆的方程,它们相交于两点,求交点与原点所构成的三角形的面积的最大值
什么是极坐标方程极坐标做画图 rd原理；弧长积分公式极坐标弧积分极坐标面积积分公式极坐标与直角坐标的转化如何将直角坐标方程Y=X转化成极坐标
目录什么是极坐标方程极坐标做画图 rd原理: 弧长积分公式
把极坐标化为直角坐标c语言,极坐标方程化为直角坐标方程
步骤:①把极坐标方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式:②把cosθ化成x/ρ,把sinθ化成y/ρ:③把ρ换成√(x²+y²).x=ρcosθ,y=ρsinθ,x²+y²=ρ².例如,ρ=-10c ...
高等数学Mathematica实验题——绘制极坐标方程的曲线图形（e螺线、肾腰线、蝴蝶线（e Sprial, Kidney Curve, Butterfly Curve））
题目:1.3 - 11. 绘制以下极坐标方程所描述的曲线图形: (1) ρ = lnθ (e螺线) (2) ρ = 1 + 2 Sin (θ/2) (肾腰线) (3) ρ = e^Sinθ - 2 C ...
过程或函数的副作用是_Python函数和函数式编程（两万字长文警告！一文彻底搞定函数，建议收藏！）...
Python函数和函数式编程函数是可重用的程序代码段,在Python中有常用的内置函数,例如len().sum()等. 在Pyhon模块和程序中也可以自定义函数.使用函数可以提高编程效率. 1.函数 ...

两个问题的解释：椭圆极坐标方程和某函数的极限

问题来源

解读两种误解

椭圆参数方程的参数意义及极坐标

函数某个参数微调下的剧变？

两个问题的解释：椭圆极坐标方程和某函数的极限相关推荐

最新文章

热门文章