2.2 n 阶行列式的定义

\quad 在上一节，我们已经定义了二阶行列式，并根据二阶行列式的特征，抽象出了 n 元排列的概念。举一个示例，可以看到：二阶行列式可以通过二元排列表示。

例 1：

∣a11a12a21a22∣=∑j1j2(−1)τ(j1j2)a1j1a2j2\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right| = \sum_{j_{1}j_{2}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2})}{a_{1 j_{1}}a_{2 j_{2}}} a11a21a12a22=j1j2∑(−1)τ(j1j2)a1j1a2j2

其中 τ(j1j2)\tau(j_{1}j_{2})τ(j1j2) 为二元排列。

\quad 受此启发，下面利用 n\color{blue} nn 元排列，推广出一般的 n\color{blue} nn 阶行列式的概念。

定义 1. n 阶行列式：我们将一般的 n\color{blue} nn 阶行列式定义为：

∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| = \sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}} (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}} a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann=j1j2⋯jn∑(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn

行列式的值为 n!n!n! 项的代数和。其中，每一项都是来自不同行、不同列的 nnn 个元素的乘积，每一项按行指标成自然序排好位置。且：

若某项的列指标所成 nnn 元排列为奇排列，则该项带负号；
若某项的列指标所成 nnn 元排列为偶排列，则该项带正号。

\quad 另外可以看到， nnn 阶行列式与 nnn 级矩阵在形式上非常相似。事实上，在后续内容中，我们经常会用到行列式来研究矩阵。为此，我们作以下说明：

n 级矩阵与 n 阶行列式：设矩阵 AAA 为 nnn 级方阵，具有如下形式：

(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann)\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right) a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann

可简记作 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij)，其中 aija_{ij}aij 为 AAA 的第 (i,j)(i,j)(i,j) 元，称

∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann

为 AAA 的 nnn 阶行列式，记作 ∣A∣|A|∣A∣ 或 det⁡A\det ~ Adet A.

例 2：根据 定义 1，很容易写出一阶行列式、二阶行列式、三阶行列式等。

一阶行列式：∣a∣=a|a|=a∣a∣=a，注意，不要与绝对值好混淆；
二阶行列式：∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}a11a21a12a22=a11a22−a12a21;
三阶行列式：∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a21a32\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{21}a_{32}a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a21a32.

\quad 有了一般的 nnn 阶行列式的定义，自然会想到将二阶行列式的相关内容推广至 nnn 阶行列式。下面进行这样一项工作。

主对角线与副对角线：a11,a22,⋯,anna_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}a11,a22,⋯,ann 为主对角线；a1n,a2,n−1,⋯,an1a_{1n},a_{2,n-1},\cdots,a_{n1}a1n,a2,n−1,⋯,an1 为副对角线。

上三角形行列式：主对角线下方的元素全为零的行列式称为上三角形行列式，即形如：

∣a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋮⋮⋮00⋯ann∣\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| a110⋮0a12a22⋮0⋯⋯⋯a1na2n⋮ann

命题 1：上三角形行列式的值等于主对角线上 nnn 个元素的乘积。

证明：由 定义 1 立得。

下三角形行列式：主对角线上方的元素全为零的行列式称为上三角形行列式，即形如：

∣a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣\left| \begin{matrix} a_{11} & 0 & \cdots &0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| a11a21⋮an10a22⋮an2⋯⋯⋯00⋮ann

命题 2：下三角形行列式的值等于主对角线上 nnn 个元素的乘积。

证明：由 定义 1 立得。

\quad 综合 命题 1 与 命题 2，即有 命题 3。

命题 3：三角形行列式的等等于主对角线上 nnn 个元素的乘积。

\quad 回顾一下 定义 1，对于一般的 nnn 阶行列式，我们有：

\quad 由数的运算法则乘法交换律，对于给定的 nnn 元排列 j1,j2,⋯,jnj_{1},j_{2},\cdots,j_{n}j1,j2,⋯,jn，可以按任一次序重排 a1j1a2j2⋯anjna_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}}a1j1a2j2⋯anjn。一般地，不妨设其重排后为 ai1k1ai2k2⋯ainkna_{i_{1} k_{1}} a_{i_{2} k_{2} }\cdots a_{i_{n} k_{n}}ai1k1ai2k2⋯ainkn.

\quad 思考：符号 (−1)τ(j1j2⋯jn)(-1)^{\tau(j_{1} j_{2} \cdots j_{n})}(−1)τ(j1j2⋯jn) 是否与新的排列 i1,i2,⋯,ini_{1},i_{2},\cdots,i_{n}i1,i2,⋯,in、k1,k2,⋯,knk_{1},k_{2},\cdots,k_{n}k1,k2,⋯,kn 有关？

例 3：任取三阶行列式∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right|a11a21a31a12a22a32a13a23a33 的一项，比如：

(−1)τ(231)a12a23a31=(−1)τ(231)a23a12a31=(−1)τ(213)+τ(321)a23a12a31\begin{aligned} (-1)^{\tau(231)}a_{12}a_{23}a_{31} &= (-1)^{\tau(231)} a_{23} a_{12} a_{31} \\ &= (-1)^{\tau(213) + \tau(321)} a_{23} a_{12} a_{31} \end{aligned} (−1)τ(231)a12a23a31=(−1)τ(231)a23a12a31=(−1)τ(213)+τ(321)a23a12a31

\quad 由 例 3 可作如下猜测：对于 nnn 阶行列式中的任一项 a1j1a2j2⋯anjna_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}a1j1a2j2⋯anjn，若经过 SSS 次对换变为 ai1k1ai2k2⋯ainkna_{i_{1} k_{1}} a_{i_{2} k_{2}} \cdots a_{i_{n} k_{n}}ai1k1ai2k2⋯ainkn，则成立：

(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn=(−1)τ(i1i2⋯in)+τ(k1k2⋯kn)ai1k1ai2k2⋯ainkn(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}} = (-1)^{\tau(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}) + \tau(k_{1} k_{2} \cdots k_{n})} a_{i_{1} k_{1}} a_{i_{2} k_{2}} \cdots a_{i_{n} k_{n}} (−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn=(−1)τ(i1i2⋯in)+τ(k1k2⋯kn)ai1k1ai2k2⋯ainkn

\quad 上述猜想是正确的，理由如下：

\quad 设 a1j1a2j2⋯anjna_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}a1j1a2j2⋯anjn 经过 SSS 次对换变为 ai1k1ai2k2⋯ainkna_{i_{1} k_{1}} a_{i_{2} k_{2}} \cdots a_{i_{n} k_{n}}ai1k1ai2k2⋯ainkn.

\quad 在这 SSS 次对换的作用下，

行指标 1,2,⋯,n→S次对换i1,i2,⋯,in1,2,\cdots,n \xrightarrow{S ~ 次对换} i_{1},i_{2},\cdots,i_{n}1,2,⋯,nS 次对换i1,i2,⋯,in，因此：(−1)S=(−1)τ(i1i2⋯in)(-1)^{S} = (-1)^{\tau(i_{1}i_{2}\cdots i_{n})}(−1)S=(−1)τ(i1i2⋯in)；
列指标 j1,j2,⋯,jn→同样的 S次对换k1,k2,⋯,knj_{1},j_{2},\cdots,j_{n} \xrightarrow{同样的 ~ S ~ 次对换} k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}j1,j2,⋯,jn同样的 S 次对换k1,k2,⋯,kn，因此：(−1)τ(j1j2⋯jn)⋅(−1)S=(−1)τ(k1k2⋯kn)(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} \cdot (-1)^{S}= (-1)^{\tau(k_{1}k_{2}\cdots k_{n})}(−1)τ(j1j2⋯jn)⋅(−1)S=(−1)τ(k1k2⋯kn).

于是有：

(−1)τ(i1i2⋯in)+τ(k1k2⋯kn)=(−1)S⋅(−1)τ(k1k2⋯kn)=(−1)S⋅(−1)τ(j1j2⋯jn)⋅(−1)S=(−1)τ(j1j2⋯jn)\begin{aligned} (-1)^{\tau(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}) + \tau(k_{1} k_{2} \cdots k_{n})} &=(-1)^{S} \cdot (-1)^{\tau(k_{1} k_{2} \cdots k_{n})} \\ &= (-1)^{S} \cdot (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} \cdot (-1)^{S} \\ &= (-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} \end{aligned} (−1)τ(i1i2⋯in)+τ(k1k2⋯kn)=(−1)S⋅(−1)τ(k1k2⋯kn)=(−1)S⋅(−1)τ(j1j2⋯jn)⋅(−1)S=(−1)τ(j1j2⋯jn)

\quad 综上所述，对于 nnn 级矩阵的行列式 ∣A∣|A|∣A∣，若给定其行指标的一个排列 i1,i2,⋯,ini_{1},i_{2},\cdots,i_{n}i1,i2,⋯,in，则有

∣A∣=∑i1i2⋯in(−1)τ(i1i2⋯in)+τ(k1k2⋯kn)ai1k1ai2k2⋯ainkn|A| = \sum_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}(-1)^{\tau(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}) + \tau(k_{1} k_{2} \cdots k_{n})} a_{i_{1} k_{1}} a_{i_{2} k_{2}} \cdots a_{i_{n} k_{n}} ∣A∣=i1i2⋯in∑(−1)τ(i1i2⋯in)+τ(k1k2⋯kn)ai1k1ai2k2⋯ainkn

或者，给定其列指标的一个排列 k1k2⋯knk_{1} k_{2} \cdots k_{n}k1k2⋯kn，则有

∣A∣=∑k1k2⋯kn(−1)τ(i1i2⋯in)+τ(k1k2⋯kn)ai1k1ai2k2⋯ainkn|A| = \sum_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}}(-1)^{\tau(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}) + \tau(k_{1} k_{2} \cdots k_{n})} a_{i_{1} k_{1}} a_{i_{2} k_{2}} \cdots a_{i_{n} k_{n}} ∣A∣=k1k2⋯kn∑(−1)τ(i1i2⋯in)+τ(k1k2⋯kn)ai1k1ai2k2⋯ainkn

特别地，有：

∣A∣=∑i1i2⋯in(−1)τ(i1i2⋯in)ai11ai22⋯ainn|A| = \sum_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}} (-1)^{\tau(i_{1}i_{2} \cdots i_{n})} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \cdots a_{i_{n} n} ∣A∣=i1i2⋯in∑(−1)τ(i1i2⋯in)ai11ai22⋯ainn

\quad 可以看到，行列式的行与列的“地位”是相同的！

参考：

邱维声. 高等代数课程。

（邱维声）高等代数课程笔记：n 阶行列式的定义相关推荐

（邱维声）高等代数课程笔记：目录
(邱维声)高等代数课程笔记:目录高等代数课程 - 邱维声引言高等代数的研究对象高等代数的主线线性空间的结构及其线性映射一元多项式环的结构及其通用性质第1章线性方程组的解法 1.1 解线 ...
（邱维声）高等代数课程笔记：数域
(邱维声)高等代数课程笔记:数域 \quad 回顾一下上一节的主定理: 定理 1:在有理数集(或实数集.复数集)内, n n n 元线性方程组的解有且仅有以下 3 3 3 种情况:无解,有唯一解,有 ...
（邱维声）高等代数课程笔记：矩阵的加法、数量乘法与乘法
(邱维声)高等代数课程笔记:矩阵的加法,数量乘法与乘法 \quad 前面已经看到,矩阵的初等行变换.矩阵的秩在线性方程组理论中起着非常重要的作用,因此,系统地研究一下矩阵是非常有必要的. \quad ...
（邱维声）高等代数课程笔记：行列式的性质
行列式的性质例题 1: ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 , ∣ a 11 a 21 a 12 a 22 ∣ = a 11 a 22 − ...
（邱维声）高等代数课程笔记：极大线性无关组，向量组的秩
极大线性无关组,向量组的秩 \quad 一般地,设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间, α 1 , α 2 , ⋯ , α s ∈ V \boldsymbol{\alpha}_{1}, ...
（丘维声）高等代数课程笔记：映射的乘法，可逆映射
3.12 映射的乘法,可逆映射定义 1. 映射的乘积:设 f:A→Bf:A \rightarrow Bf:A→B,g:B→Cg:B \rightarrow Cg:B→C 为两个映射,称 (g⋅f)( ...
线性代数学习笔记——行列式的性质及拉普拉斯定理——2. n阶行列式的定义
1. 二.三阶行列式的规律观察 2. n阶行列式的定义 3. 行列式与矩阵的区别与联系
线性代数 01.01 n阶行列式的定义
第一章行列式 \color{blue}{第一章行列式} 主要介绍n阶行列式的定义.性质及计算方法. 主要介绍n阶行列式的定义.性质及计算方法. 介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默(Crame ...
丘维声高等代数pdf_2020年兰州大学高等代数真题出处简直惊讶
今晚偶然看公众号推文,扬哥写的兰州大学2020年高等代数真题解答,我再回过头去看下在10个月我前码这张真题,其实不乏兰大在真题这块基本是无任何创新,我特意去翻了下钱吉林高等代数题解精讲,几乎90%出自 ...

（邱维声）高等代数课程笔记：n 阶行列式的定义

2.2 n 阶行列式的定义

（邱维声）高等代数课程笔记：n 阶行列式的定义相关推荐

最新文章

热门文章