MATLAB学习记录-系统的数学模型-（状态空间表达式的建模）-自动控制篇

状态空间表达式的MATLAB建模

设本节中,具有r个输入、m个输出的n阶线性定常系统的状态空间表达式为
X˙(t)=AX(t)+BU(t)\dot{X}(t)=AX\left(t\right)+BU\left(t\right)X˙(t)=AX(t)+BU(t)
Y(t)=CX(t)+DU(t)Y(t)=CX(t)+DU(t)Y(t)=CX(t)+DU(t)
其中，X(t)=[x1(t)⋮xn(t)],U(t)=[u1(t)⋮ur(t)],Y(t)=[y1(t)⋮ym(t)]X(t)=\left[\begin{matrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t)\\\end{matrix}\right],U(t)=\left[\begin{matrix}u_1(t)\\\vdots\\u_r(t)\\\end{matrix}\right],Y(t)=\left[\begin{matrix}y_1(t)\\\vdots\\y_m(t)\\\end{matrix}\right]X(t)=⎣⎢⎡x1(t)⋮xn(t)⎦⎥⎤,U(t)=⎣⎢⎡u1(t)⋮ur(t)⎦⎥⎤,Y(t)=⎣⎢⎡y1(t)⋮ym(t)⎦⎥⎤
A=[a11⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann],B=[b11⋯b1r⋮⋱⋮bn1⋯bnr],C=[c11⋯c1n⋮⋱⋮cm1⋯cmn],D=[d11⋯d1r⋮⋱⋮dm1⋯dmr]A=\left[\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right],B=\left[\begin{matrix}b_{11}&\cdots&b_{1r}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&\cdots&b_{nr}\\\end{matrix}\right],C=\left[\begin{matrix}c_{11}&\cdots&c_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\c_{m1}&\cdots&c_{mn}\\\end{matrix}\right],D=\left[\begin{matrix}d_{11}&\cdots&d_{1r}\\\vdots&\ddots&\vdots\\d_{m1}&\cdots&d_{mr}\\\end{matrix}\right]A=⎣⎢⎡a11⋮an1⋯⋱⋯a1n⋮ann⎦⎥⎤,B=⎣⎢⎡b11⋮bn1⋯⋱⋯b1r⋮bnr⎦⎥⎤,C=⎣⎢⎡c11⋮cm1⋯⋱⋯c1n⋮cmn⎦⎥⎤,D=⎣⎢⎡d11⋮dm1⋯⋱⋯d1r⋮dmr⎦⎥⎤
A——n×\times×n阶矩阵，反映系统内部状态的联系，称为系统矩阵
B——n×\times×r阶矩阵，反映输入对系统内部状态的作用，称为输入矩阵（或控制矩阵）
C——m×\times×n阶矩阵，反映系统内部状态对输出的作用，称为输出矩阵
D——m×\times×r阶矩阵，反映输入对输出的直接传递关系，称为直接传递矩阵。（多数情况下系统存在着惯性，其直接传递矩阵通常为零）

在MATLAB中，将各个矩阵记为

>> X=[x1;x2;...;xn];
>> U=[u1;u2;...;un];
>> Y=[y1;y2;...;yn];
>> A=[a1 a2 ... a1n;a21 a22 ... a2n;......;an1 an2 ... ann];
>> B=[b1 b2 ... b1r;b21 b22 ... b2r;......;bn1 bn2 ... bnr];
>> C=[c1 c2 ... c1n;c21 c22 ... c2n;......;cm1 cm2 ... cmn];
>> D=[d1 d2 ... d1r;d21 d22 ... d2r;......;dm1 dm2 ... dmr];

需要用到的函数：
ss函数：用于建立系统的状态空间模型。

>> g=ss(A,B,C,D);

使用范例：
已知系统的状态空间表达式
X˙=[310.511.20.1600.1]X+[103]U\dot{X}=\left[\begin{matrix}\begin{matrix}3&1\\\end{matrix}&0.5\\\begin{matrix}\begin{matrix}1\\1.2\\\end{matrix}&\begin{matrix}0.1\\6\\\end{matrix}\\\end{matrix}&\begin{matrix}0\\0.1\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right]X+\left[\begin{matrix}1\\0\\3\\\end{matrix}\right]UX˙=⎣⎡3111.20.160.500.1⎦⎤X+⎣⎡103⎦⎤U
Y=[112]XY=\left[\begin{matrix}1&1&2\\\end{matrix}\right]XY=[112]X
MATLAB中建立系统的状态空间表达式和传递函数的多项式形式和零-极点形式模型。

>> A=[3 1 0.5; 1 0.1 0; 1.2 6 0.1];
%输入系统矩阵
>> B=[1;0;3];
%输入输入矩阵
>> C=[1 1 2];
%输入输出矩阵
>> D=0;
>%输入直接传递矩阵
>> g=ss(A,B,C,D)
%建立系统状态空间表达式模型
g =A = x1   x2   x3x1    3    1  0.5x2    1  0.1    0x3  1.2    6  0.1B = u1x1   1x2   0x3   3C = x1  x2  x3y1   1   1   2D = u1y1   0Continuous-time state-space model.
>> g=tf(g)
%执行此命令得到系统多项式形式的传递函数模型
g =7 s^2 - 13.9 s + 8.82-----------------------------s^3 - 3.2 s^2 - 0.99 s - 2.87Continuous-time transfer function.>> g=zpk(g)
%执行此命令得系统零-极点形式的传递函数模型
g =7 (s^2 - 1.986s + 1.26)----------------------------------(s-3.681) (s^2 + 0.4808s + 0.7797)Continuous-time zero/pole/gain model.>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
%执行此命令得系统传递函数多项式形式的分子、分母多项式系数
num =0    7.0000  -13.9000    8.8200den =1.0000   -3.2000   -0.9900   -2.8700>> [z,p]=ss2zp(A,B,C,D)
%执行此命令得系统得零-极点。z为零点，p为极点。
z =0.9929 + 0.5237i0.9929 - 0.5237ip =3.6808 + 0.0000i-0.2404 + 0.8497i-0.2404 - 0.8497i

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