UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步7 停时与Upcrossing不等式

这一讲我们引入一个非常重要的概念——停时(Stopping time)。

假设{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}是一个filtration，称随机变量N:Ω→NN:\Omega \to \mathbb{N}N:Ω→N是{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}上的一个停时，如果∀n<∞\forall n <\infty∀n<∞，
{w∈Ω:N(w)≤n}∈Fn\{w\in \Omega:N(w) \le n\} \in \mathcal{F}_n{w∈Ω:N(w)≤n}∈Fn

或者用等价地
{w∈Ω:N(w)=n}∈Fn\{w\in \Omega:N(w) = n\} \in \mathcal{F}_n{w∈Ω:N(w)=n}∈Fn

例验证一个随机变量是停时 {Xn}n≥0\{X_n\}_{n \ge 0}{Xn}n≥0是一列随机变量，Fn=σ(X0,⋯,Xn),∀n≥0\mathcal{F}_n = \sigma(X_0,\cdots,X_n),\forall n \ge 0Fn=σ(X0,⋯,Xn),∀n≥0。用停时的定义验证一个随机变量是否是停时：

i）定义
N=inf⁡{n≥0:Xn≥A}N = \inf\{n \ge 0:X_n \ge A\}N=inf{n≥0:Xn≥A}

验证NNN是停时：
{w∈Ω:N(w)≤n}={w∈Ω:N(w)>n}C={w:X0,⋯,Xn<A}C∈Fn\{w\in \Omega:N(w) \le n\} = \{w\in \Omega:N(w) > n\}^C \\ = \{w:X_0,\cdots,X_n<A\}^C \in \mathcal{F}_n{w∈Ω:N(w)≤n}={w∈Ω:N(w)>n}C={w:X0,⋯,Xn<A}C∈Fn

ii）定义
M=sup⁡{n≥0:Xn≥A}M=\sup\{n \ge 0:X_n \ge A\}M=sup{n≥0:Xn≥A}

则MMM不是停时，
{w:M(w)=n}={w:Xn(w)≥A,⋯,Xt<A,∀t≥n+1}\{w:M(w)=n\}=\{w:X_n(w)\ge A,\cdots,X_{t} <A,\forall t \ge n+1\}{w:M(w)=n}={w:Xn(w)≥A,⋯,Xt<A,∀t≥n+1}

显然是不属于Fn\mathcal{F}_nFn，因为Fn\mathcal{F}_nFn只由前nnn个随机变量生成。

iii）如果NNN是常数，则NNN是停时。

iv）定义
NB=inf⁡{n≥0:Xn∈B},B∈B(R)N_B = \inf\{n \ge 0:X_n \in B\},B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})NB=inf{n≥0:Xn∈B},B∈B(R)

则NBN_BNB是停时：
{w:NB(w)=n}={Xn∈B,X0⋯,Xn−1∈BC}={Xn∈B}∩{X0∈BC}⋯∩{Xn−1∈BC}\{w:N_B(w)=n\}=\{X_n \in B,X_0 \cdots ,X_{n-1} \in B^C\} \\ = \{X_n \in B\} \cap \{X_0 \in B^C\} \cdots \cap \{X_{n-1} \in B^C\}{w:NB(w)=n}={Xn∈B,X0⋯,Xn−1∈BC}={Xn∈B}∩{X0∈BC}⋯∩{Xn−1∈BC}

每一个集合都属于Fn\mathcal{F}_nFn，因此它们的交集属于Fn\mathcal{F}_nFn。

定义
NB(2)=inf⁡{n>NB:Xn∈B}NB(k)=inf⁡{n>NB(k−1):Xn∈B},k>2N_B^{(2)} = \inf\{n > N_B:X_n \in B\}\\N_B^{(k)} = \inf\{n > N_B^{(k-1)}:X_n \in B\},k>2NB(2)=inf{n>NB:Xn∈B}NB(k)=inf{n>NB(k−1):Xn∈B},k>2

则NB(k)N_B^{(k)}NB(k)是停时，∀k≥2\forall k \ge 2∀k≥2，以k=2k=2k=2为例：
{NB(2)=n}=∪m<n{Xn∈B,Xm∈B,Xj∈BC,0≤j<n,j≠m}\{N_B^{(2)}=n\}=\cup_{m < n}\{X_n \in B,X_m \in B,X_j \in B^C,0 \le j<n,j \ne m\}{NB(2)=n}=∪m<n{Xn∈B,Xm∈B,Xj∈BC,0≤j<n,j=m}

引理1 假设T1,T2T_1,T_2T1,T2是{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}上的停时，则min⁡(T1,T2)\min(T_1,T_2)min(T1,T2)也是停时。

证明
{min⁡(T1,T2)≤n}={min⁡(T1,T2)>n}C=({T1>n}∩{T2>n})C={T1>n}C∪{T2>n}C∈{Fn}\{\min(T_1,T_2) \le n\} =\{\min(T_1,T_2) > n\}^C \\ = (\{T_1>n\} \cap \{T_2>n\})^C = \{T_1>n\}^C \cup \{T_2>n\}^C \in \{\mathcal{F}_n\} {min(T1,T2)≤n}={min(T1,T2)>n}C=({T1>n}∩{T2>n})C={T1>n}C∪{T2>n}C∈{Fn}

证毕

Doob’s inequality (Upcrossing Inequality) 假设{Xn}\{X_n\}{Xn}是一个{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}上的submartingale，a<ba<ba<b，N0=−1N_0=-1N0=−1,
N1=inf⁡{m>N0:Xm≤a}N2=inf⁡{m>N1:Xm≥b}⋯N2k−1=inf⁡{m>N2k−2:Xm≤a}N2k=inf⁡{m≥N2k−1:Xm≥b}N_1=\inf\{m>N_0:X_m \le a\} \\ N_2 = \inf\{m >N_1:X_m \ge b\} \\ \cdots \\ N_{2k-1} = \inf\{m>N_{2k-2}:X_m \le a\} \\ N_{2k} = \inf\{m \ge N_{2k-1}:X_m \ge b\}N1=inf{m>N0:Xm≤a}N2=inf{m>N1:Xm≥b}⋯N2k−1=inf{m>N2k−2:Xm≤a}N2k=inf{m≥N2k−1:Xm≥b}

定义
Un=sup⁡{k:N2k≤n}U_n = \sup\{k:N_{2k} \le n\}Un=sup{k:N2k≤n}

则
(b−a)EUn≤E[(Xn−a)+]−E[(X0−a)+](b-a)EU_n \le E[(X_n-a)^+]-E[(X_0-a)^+](b−a)EUn≤E[(Xn−a)+]−E[(X0−a)+]

我们先认可这个不等式，它的作用是证明下面这个非常重要的鞅收敛定理。

鞅收敛定理 假设{Xn}\{X_n\}{Xn}是一个{Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn}上的submartingale满足sup⁡nEXn+<∞\sup_n EX_n^+<\inftysupnEXn+<∞，则Xn→X,a.sX_n \to X,a.sXn→X,a.s，并且E∣X∣<∞E|X|<\inftyE∣X∣<∞。

下一篇博文证明这个定理。

例 Branching Process
假设ξij\xi_{ij}ξij是互相独立的取值为自然数的随机变量，P(ξij=k)=pk,∀k≥0P(\xi_{ij}=k)=p_k,\forall k \ge 0P(ξij=k)=pk,∀k≥0，记m=∑k≥0kpkm = \sum_{k \ge 0}kp_km=∑k≥0kpk，定义Xn=∑i=1Xn−1ξinX_n = \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in}Xn=i=1∑Xn−1ξin

在这个设定中，我们可以把ξij\xi_{ij}ξij的下标iii理解为第iii户，jjj理解为第jjj代，ξij\xi_{ij}ξij表示第iii户、第jjj代有几个娃，则XnX_nXn的含义可以是某家族第nnn代的总人口数，mmm表示平均每一代每一户有几个娃，可以证明
P(Xn<1,∃n)=1P(X_n<1,\exists n)=1P(Xn<1,∃n)=1

也就是如果某家族每一代每一户不足一个娃，这个家族迟早会灭绝。下一篇博文证明了鞅收敛之后再完成这个例子的证明。