正题

【链接】
斐波那契各项幂次前缀和
【题意】给定 n,Kn,Kn,K，求出：
∑i=1n(Fibi)K(mod1e9+9)\sum_{i=1}^n (Fib_i)^{K}\pmod {1e9+9} i=1∑n(Fibi)K(mod1e9+9)
其中 FibiFib_iFibi 表示第 iii 个斐波那契数字， Fib[]=[1,1,2,3,5,8,⋯]Fib[]=[1,1,2,3,5,8,\cdots]Fib[]=[1,1,2,3,5,8,⋯]
【范围】
1≤n≤10181\le n\le 10^{18}1≤n≤1018
1≤K≤1051\le K\le 10^51≤K≤105

解法

由于 KKK 比较大，我们不能直接用矩阵快速幂去做。考虑斐波那契数字的显式公式：
具体内容见我的博客：【小组专题三：斐波那契专题】
fn=15(αn−βn)f_n=\frac{1}{\sqrt 5}(\alpha^n-\beta^n) fn=51(αn−βn)
其中 α=5+12,β=5−12\alpha=\frac{\sqrt5+1}{2},\beta=\frac{\sqrt5-1}{2}α=25+1,β=25−1
于是，我们要求的内容就变成了：(以下式子皆省略模数)
∑i=1n(Fibi)K=∑i=1n15K(αi−βi)K=15K∑i=1n(αi−βi)K\sum_{i=1}^n (Fib_i)^{K}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt5^K}(\alpha^i-\beta^i)^K= \frac{1}{\sqrt5^K}\sum_{i=1}^n(\alpha^i-\beta^i)^K i=1∑n(Fibi)K=i=1∑n5K1(αi−βi)K=5K1i=1∑n(αi−βi)K
设 15K=Re\frac{1}{\sqrt5^K}=Re5K1=Re
我们只要求后面的一个二项式即可。我们把二项式拆开来，得到：
Fibn=Re((−1)0CK0αKnβ0n+(−1)1CK1α(K−1)nβ1⋅n+⋯)Fib_n=Re\Big( (-1)^0C_K^0 \alpha^{Kn}\beta^{0n} + (-1)^1C_K^1 \alpha^{(K-1)n}\beta^{1\cdot n} +\cdots\Big) Fibn=Re((−1)0CK0αKnβ0n+(−1)1CK1α(K−1)nβ1⋅n+⋯)
考虑到第 iii 项，即系数为 (−1)iCKiα(K−i)nβi⋅n(-1)^iC_K^i\alpha^{(K-i)n}\beta^{i\cdot n}(−1)iCKiα(K−i)nβi⋅n。
考虑到每一个 nnn，该项成等比数列，即：公比为 α(K−i)βi\alpha^{(K-i)}\beta^iα(K−i)βi，用等比公式求出即可。

问题一：根号五？

【Q】考虑到需要多次计算出 5\sqrt55 的值，在取模意义下怎么得到？
【A】就是二次剩余的知识，见我的博客【算法讲18：二次剩余】
用 cipollacipollacipolla 即可预处理算出该模意义下的 5\sqrt55 的值。

问题二：公比模意义为一？

【Q】根据等比求和，公比必须不为 111。但是 α(K−i)βi\alpha^{(K-i)}\beta^iα(K−i)βi 在取模意义下可能为 111 咋办？
【A】如果公比为 111，那么每一项取模意义下值都是第一项。贡献为 Re×(−1)i×nRe\times (-1)^i\times nRe×(−1)i×n

核心代码

时间复杂度：O(Klog⁡K)O(K\log K)O(KlogK)

/*_            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|__/ ||___/
*/
const ll sq5 = 383008016;
const ll iv2 = inv(2);
ll fac[MAX],ivfac[MAX];
ll C(int n,int m){if(m < 0 || m > n)return 0;return fac[n] * ivfac[m] % MOD * ivfac[n - m] % MOD;
}
void init(int n){fac[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;++i){fac[i] = fac[i-1] * i % MOD;}ivfac[n] = inv(fac[n]);for(int i = n - 1;i >= 0;--i){ivfac[i] = ivfac[i+1] * (i + 1) % MOD;}
}
int main()
{init((int)1e5);int T;scanf("%d",&T);while(T--){ll n,k;scanf("%lld%lld",&n,&k);ll xi = inv(qpow(sq5,k));ll alpha = (1LL + sq5) * iv2 % MOD;ll beta  = (1LL - sq5 + MOD) * iv2 % MOD;ll res = 0;for(int i = 0;i <= k;++i){ll tmp = C(k,i);if(i & 1)tmp = (-tmp + MOD) % MOD;ll shu = qpow(alpha,k-i) * qpow(beta,i) % MOD;ll shu2= qpow(shu,n);if(shu == 1){     /// 公比为 1res = (res + n % MOD * tmp % MOD) % MOD;continue;}                   /// 等比数列求和公式tmp = tmp * shu % MOD * (shu2 - 1) % MOD * inv(shu - 1) % MOD;res = (res + tmp) % MOD;}res = res * xi % MOD;res = (res + MOD) % MOD;printf("%lld\n",res);}return 0;
}

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