一、线性方程组的求解

在求解线性方程组往往将其系数矩阵（或增广矩阵）化为上三角矩阵。
在化为上三角矩阵后，若增广矩阵中出现形如 0 0 0 0 a 的行，则该线性方程组无解；若增广矩阵中每一行均有非0元素（即上三角矩阵完整）则有唯一解；若含有多个全零行，则说明矩阵中含有自由元，计算矩阵的秩r，自由元的个数就为 n-r。

求解线性方程组(化为上三角矩阵)的步骤：（高斯消元法）
1.消元
2.回代
3.判断解的个数（无解、1个、无穷个）

二、线性方程组整数类型

int a[N][N];//增广矩阵
int x[N];//解集
bool freeX[N];//标记是否为自由变元
int GCD(int a,int b){return !b?a:GCD(b,a%b);
}
int LCM(int a,int b){return a/GCD(a,b)*b;
}
int Gauss(int equ,int var){//返回自由变元个数/*初始化*/for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;freeX[i]=true;}/*转换为阶梯阵*/int col=0;//当前处理的列int row;//当前处理的行for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){//枚举当前处理的行int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行for(int i=row+1;i<equ;i++){//寻找当前列绝对值最大的行if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))maxRow=i;}if(maxRow!=row){//与第row行交换for(int j=row;j<var+1;j++)swap(a[row][j],a[maxRow][j]);}if(a[row][col]==0){//col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列row--;continue;}for(int i=row+1;i<equ;i++){//枚举要删去的行if(a[i][col]!=0){int lcm=LCM(abs(a[i][col]),abs(a[row][col]));int ta=lcm/abs(a[i][col]);int tb=lcm/abs(a[row][col]);if(a[i][col]*a[row][col]<0)//异号情况相加tb=-tb;for(int j=col;j<var+1;j++) {a[i][j]=a[i][j]*ta-a[row][j]*tb;}}}}/*求解*///无解：化简的增广阵中存在(0,0,...,a)这样的行，且a!=0for(int i=row;i<equ;i++)if (a[i][col]!=0)return -1;//无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行int temp=var-row;//自由变元有var-row个if(row<var)//返回自由变元数return temp;//唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵for(int i=var-1;i>=0;i--){//计算解集int temp=a[i][var];for(int j=i+1;j<var;j++){if(a[i][j]!=0)temp-=a[i][j]*x[j];}if(temp%a[i][i]!=0)//有浮点数解，无整数解return -2;x[i]=temp/a[i][i];}return 0;
}int main(){int equ,var;//equ个方程，var个变元while(scanf("%d%d",&equ,&var)!=EOF) {memset(a,0,sizeof(a));for(int i=0;i<equ;i++)//输入增广矩阵for(int j=0;j<var+1;j++)scanf("%d",&a[i][j]);int freeNum=Gauss(equ,var);//自由元个数if(freeNum==-1)//无解printf("无解\n");else if(freeNum==-2)//有浮点数解无整数解printf("无整数解\n");else if(freeNum>0){//有无穷多解printf("有无穷多解，自由变元个数为%d\n",freeNum);for(int i=0;i<var;i++){if(freeX[i])printf("x%d是自由变元\n",i+1);elseprintf("x%d=%d\n",i+1,x[i]);}}else{//有唯一解for(int i=0;i<var;i++)printf("x%d=%d\n",i+1,x[i]);}printf("\n");}return 0;
}

三、线性方程组浮点数类型

double a[N][N];//增广矩阵
double x[N];//解集
bool freeX[N];//标记是否为自由变元int Gauss(int equ,int var){//返回自由变元个数/*初始化*/for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;freeX[i]=true;}/*转换为阶梯阵*/int col=0;//当前处理的列int row;//当前处理的行for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){//枚举当前处理的行int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行for(int i=row+1;i<equ;i++){//寻找当前列绝对值最大的行if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))maxRow=i;}if(maxRow!=row){//与第row行交换for(int j=row;j<var+1;j++)swap(a[row][j],a[maxRow][j]);}if(fabs(a[row][col])<1e6){//col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列row--;continue;}for(int i=row+1;i<equ;i++){//枚举要删去的行if(fabs(a[i][col])>1e6){double temp=a[i][col]/a[row][col];for(int j=col;j<var+1;j++) a[i][j]-=a[row][j]*temp;a[i][col]=0;}}}/*求解*///无解for(int i=row;i<equ;i++)if(fabs(a[i][col])>1e6)return -1;//无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行int temp=var-row;//自由变元有var-row个if(row<var)//返回自由变元数return temp;//唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵for(int i=var-1;i>=0;i--){//计算解集double temp=a[i][var];for(int j=i+1;j<var;j++)temp-=a[i][j]*x[j];x[i]=temp/a[i][i];}return 0;
}

四、求解模线性方程组

问题：什么是模线性方程组？
举个例子：（可能不成立，胡编的）
x%3 = 2
x%5 = 1
x%2 = 1
就是一组线性方程组，在求解时，利用函数的思想，借助扩展欧几里得求解
ps:图片来自：模线性方程组

int a[N][N];//增广矩阵
int x[N];//解集
bool freeX[N];//标记是否为自由变元
int GCD(int a,int b){return !b?a:GCD(b,a%b);
}
int LCM(int a,int b){return a/GCD(a,b)*b;
}
int Gauss(int equ,int var){//返回自由变元个数/*初始化*/for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;freeX[i]=true;}/*转换为阶梯阵*/int col=0;//当前处理的列int row;//当前处理的行for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){//枚举当前处理的行int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行for(int i=row+1;i<equ;i++){//寻找当前列绝对值最大的行if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))maxRow=i;}if(maxRow!=row){//与第row行交换for(int j=row;j<var+1;j++)swap(a[row][j],a[maxRow][j]);}if(a[row][col]==0){//col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列row--;continue;}for(int i=row+1;i<equ;i++){//枚举要删去的行if(a[i][col]!=0){int lcm=LCM(abs(a[i][col]),abs(a[row][col]));int ta=lcm/abs(a[i][col]);int tb=lcm/abs(a[row][col]);if(a[i][col]*a[row][col]<0)//异号情况相加tb=-tb;for(int j=col;j<var+1;j++) {a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[row][j]*tb)%MOD+MOD)%MOD;}}}}/*求解*///无解：化简的增广阵中存在(0,0,...,a)这样的行，且a!=0for(int i=row;i<equ;i++)if (a[i][col]!=0)return -1;//无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行int temp=var-row;//自由变元有var-row个if(row<var)//返回自由变元数return temp;//唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵for(int i=var-1;i>=0;i--){//计算解集int temp=a[i][var];for(int j=i+1;j<var;j++){if(a[i][j]!=0)temp-=a[i][j]*x[j];temp=(temp%MOD+MOD)%MOD;//取模}while(temp%a[i][i]!=0)//外层每次循环都是求a[i][i]，它是每个方程中唯一一个未知的变量temp+=MOD;//a[i][i]必须为整数，加上周期MODx[i]=(temp/a[i][i])%MOD;//取模}return 0;
}

五、求解异或线性方程组

和线性加减方程组类似，只不过在化简上三角行列式的时候变为异或化简。

int a[N][N];//增广矩阵
int x[N];//解集
int freeX[N];//自由变元
int Gauss(int equ,int var){//返回自由变元个数/*初始化*/for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;freeX[i]=0;}/*转换为阶梯阵*/int col=0;//当前处理的列int num=0;//自由变元的序号int row;//当前处理的行for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){//枚举当前处理的行int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行for(int i=row+1;i<equ;i++){//寻找当前列绝对值最大的行if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))maxRow=i;}if(maxRow!=row){//与第row行交换for(int j=row;j<var+1;j++)swap(a[row][j],a[maxRow][j]);}if(a[row][col]==0){//col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列freeX[num++]=col;//记录自由变元row--;continue;}for(int i=row+1;i<equ;i++){if(a[i][col]!=0){for(int j=col;j<var+1;j++){//对于下面出现该列中有1的行，需要把1消掉a[i][j]^=a[row][j];}}}}/*求解*///无解：化简的增广阵中存在(0,0,...,a)这样的行，且a!=0for(int i=row;i<equ;i++)if(a[i][col]!=0)return -1;//无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行int temp=var-row;//自由变元有var-row个if(row<var)//返回自由变元数return temp;//唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵for(int i=var-1;i>=0;i--){//计算解集x[i]=a[i][var];for(int j=i+1;j<var;j++)x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);}return 0;
}
int enumFreeX(int freeNum,int var){//枚举自由元，统计有解情况下1最少的个数int sta=(1<<(freeNum));//自由元的状态总数int res=INF;for(int i=0;i<sta;++i){//枚举状态int cnt=0;for(int j=0;j<freeNum;j++){//枚举自由元if(i&(1<<j)){cnt++;x[freeX[j]]=1;}elsex[freeX[j]]=0;}for(int k=var-freeNum-1;k>=0;k--){//没有自由元的最下面一行int index=0;for(index=k;k<var;index++){//在当前行找到第一个非0自由元if(a[k][index])break;}x[index]=a[k][var];for(int j=index+1;j<var;++j){//向后依次计算出结果if(a[k][j])x[index]^=x[j];}cnt+=x[index];//若结果为1，则进行统计}res=min(res,cnt);}return res;
}
int main(){memset(a,0,sizeof(a));int equ,var;scanf("%d%d",&equ,&var);for(int i=0;i<equ;i++){//构造初始状态}for(int i=0;i<equ;i++)//最终状态scanf("%d",&a[i][var]);int freeNum=Gauss(equ,var);//获取自由元if(freeNum==-1)//无解printf("inf\n");else if(freeNum==0){//唯一解int res=0;for(int i=0;i<var;i++)res+=x[i];printf("%d\n",res);}else{//多个解int res=enumFreeX(freeNum,var);printf("%d\n",res);}return 0;
}

六、Matrix Equation

2020济南站ICPC真题A题

通过观察发现C矩阵列无关性.通过高斯消元统计每列的自由元的个数即可.
ps(也可以发现答案的解都为2的次幂)

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;
const int maxn = 2e2 + 7;
const int mod = 998244353;int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集
int freeX[maxn];//自由变元
int n;
int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
ll poww(ll a,ll b){ll ans=1;while(b > 0){if(b & 1) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return ans;
}
int Gauss(int equ,int var){for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;freeX[i]=0;}int col=0;//当前处理的列int num=0;//自由变元的序号int row;//当前处理的行for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){//枚举当前处理的行int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行for(int i=row+1;i<equ;i++){//寻找当前列绝对值最大的行if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))maxRow=i;}if(maxRow!=row){//与第row行交换for(int j=row;j<var+1;j++)swap(a[row][j],a[maxRow][j]);}if(a[row][col]==0){//col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列freeX[num++]=col;//记录自由变元row--;continue;}for(int i=row+1;i<equ;i++){if(a[i][col]!=0){for(int j=col;j<var+1;j++){//对于下面出现该列中有1的行，需要把1消掉a[i][j]^=a[row][j];}}}}for(int i=row;i<equ;i++)if(a[i][col]!=0)return -1;int temp=var-row;//自由变元有var-row个if(row<var)//返回自由变元数return temp;return 0;
}int main(){scanf("%d",&n);for(int i = 0; i < n; i ++){for(int j = 0; j < n; j ++){scanf("%d",&A[i][j]);}}for(int i = 0; i < n; i ++){for(int j = 0; j < n; j ++){scanf("%d",&B[i][j]);}}ll ans = 1;for(int r = 0;r < n; r ++){for(int i = 0;i < n;i++) {for(int j = 0;j < n;j++) {a[i][j] = A[i][j];}}for(int i = 0; i < n; i ++){a[i][i] = (A[i][i] - B[i][r] + 2) % 2;
//             a[i][i] = (A[i][i] * B[i][r]);}int freeNum=Gauss(n,n);if(freeNum == -1) continue;ans = (ans  *  poww(2 , freeNum)) % mod;}printf ("%lld\n",ans);return 0;
}

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