先吐槽一下我的民科老师吧，要不是你，我tm也不用自学一遍离散.脏话。

要想学好算法，先学离散，我的学校课程安排也不合理，一般都是先ds再离散的，我学校偏偏反着来，呵呵

————————————————————————————————————————————————————————————

二元关系顾名思义就是两个元素之间的关系，（关系就是集合）

像这样的<x,y>的有序的二元组（向量）叫有序对，

设A，B为集合，A中的元素为第一个元素，B中的元素为第二个元素，的集合叫笛卡尔（就是那个说我思故我在的家伙）集，。记作A*B。

如果一个集合为空或为笛卡尔集则称这个集合为二元关系，简称为关系，

设A，B为集合，A*B的任意子集所定义的关系称为从A到B的二元关系，当A=B时称为A上的二元关系，

对于任意集合A，空集是A*A的子集，称作A上的空关系，

对于任意集合A，有：

偷一下懒

对于x,y我们还可以定义其他关系比如x>y,则称小于关系等等

————————————————————————————————————————————————

关系的表述方法————集合表达式，关系矩阵和关系图。

————————————————————————————————————————————————

关系的运算

——————————————————————————————————————————————————————

关系的性质

　　自反，反自反，对称，反对称，传递。

这个课本上说的太抽象了，我用通俗的描述一下

假设集合A，以及基于A上的关系R
自反： 如果a是A的元素，那么<a,a>是R的元素
反自反：如果a是A的元素，那么<a,a>不是R的元素
对称： 如果<a,b>是R的元素，那么<b,a>是R的元素
反对称：如果<a,b>，<b,a>是R的元素，那么a,b相等
传递： 如果<a,b>，<b,c>是R的元素，那么<a,c>是R的元素

———————————————————————————————————————————————————————

关系的闭包

　　设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比如自反性，如果不具有则我们可以往R中添加一些有序对来改造R成为R1，

是R具有自反性，但有要求添加的有序对尽量少，满足自反性的R1就称为R的自反闭包，

或者还可以求对称闭包，传递闭包等。

算法         下次

————————————————————————————————————————————————————————

等价关系与划分

　　设R为非空集合A上的关系，如果R是自反，对称，传递的则称R为A上的等价关系，设R是一个等价关系，若<x,y>属于R，称x等价与y，记x~y.

x的等价类则是A中所有与x等价元素的集合

R中所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集。记作A/R

—————————————————————————————————————————————————————————

偏序关系

　　设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的，反对称和传递的，则称R为A上的偏序关系 ，

　　设R为非空集合A上的关系，如果任意的下x,y属于A，x,y都是可比的，则称R为A上的偏序关系x

　　集合A和A上的偏序关系一起称作偏序集，

　　对于一个偏序关系，任意的x,y属于A，如果x<y且不存在z属于A且x<y<z，使得x<y<z,则称y覆盖x

　　书上关于最大元最小元极大元极小元的描述太不清楚易懂了，所以我就找了网上的描述

　　首先说明,在一个集合的偏序关系中,并不是任何2个元素之间都具有偏序关系.例如 aRb cRd,但是 a与c之间可能就不具有偏序关系R.
　　下面说明最大元与极大元,最小元与极小元：
　　最大元：假设a为最大元,则在集合A中,任取元素x,都有xRa.
　　极大元：假设a为极大元,则任取与a具有关系R的元素x,都有xRa.（也就是说：并不是A中的任意元素都与a有关系R,这就是最大元与极大元的区别）
　　最小元：假设a为最小元,则在集合A中,任取元素x,都有aRx.
　　极小元：假设a为极小元,则任取与a具有关系R的元素x,都有aRx.
　　最大元,最小元是唯一的,极大元与极小元不唯一.

　　大于等于集合中所有元素的数中的最小的就是最小上界.最大下界是小于等于集合中所有元素的数中最大的.举例来说{1,2,3}的最小上界是3,最大下界是1.

　　　“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。 　　
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。 　　
一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。

有界集合S，如果β满足以下条件 　　
（1）对一切x∈S，有x≤β，即β是S的上界； 　　
（2）对任意a<β，存在x∈S，使得x>a，即β又是S的最小上界， 　　
则称β为集合S的上确界，记作β=supS 　　
在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”

简单的说，一个存在上界（或下界）的集合，其上界（或下界）的数量将有无数个。
比方说如果s是某个集合m的上界，即s满足m中任何数都不超过s的要求，那么很明显，s+1；s+0.5；s+2；s+2.8等等这些数也满足m中任何数都不超过s+1；s+0.5；s+2；s+2.8等等的要求，所以根据上界的定义s+1；s+0.5；s+2；s+2.8等等这些s+任意正数都是m的上界。所以是无数个。
下界也类似，如果a是某个集合m的下界，即a满足m中任何数都不小于a的要求，那么很明显，a-1，a-0.3；a-2等等这些数也满足m中任何数都不小于a-1，a-0.3；a-2等等的要求，所以a-1，a-0.3；a-2等等这些a-任何正数的数也是m的下界，所以也是无数个。

而所有上界中最小的那个，被称为上确界，那当然就只有1个了。
所有下界中，最大的那个，被称为下确界，那当然也只有1个了。