负数的Gamma函数

如果 nnn 是正整数，
Γ(n)=(n−1)!(1)\Gamma(n) = (n-1)! \tag 1Γ(n)=(n−1)!(1)
除了负整数和 0 之外，伽玛函数对所有的复数有定义。
当 n 很大时，伽玛函数可以用 Stirling’s 公式近似 (https://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html)
Γ(n+1)=2πn(ne)n(2)\Gamma(n+1) = \sqrt {2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \tag 2Γ(n+1)=2πn(en)n(2)
对于正实数，当伽玛函数的自变量接近于 0，伽玛函数会变得很大直至无限大。
Γ(n)=lim⁡r→∞r!rnn(n+1)⋯(n+r)(3)\Gamma(n)=\lim_{r\to \infty} {r!r^n\over n(n+1)\cdots (n+r)} \tag 3Γ(n)=r→∞limn(n+1)⋯(n+r)r!rn(3)
如果 n=0,Γ(n)=r!/0n=0, \Gamma(n)={r!/0}n=0,Γ(n)=r!/0.
伽玛函数定义
Γ(n)=∫0∞tn−1e−tdt,n>0(4)\Gamma(n)=\int_0^\infty t^{n-1}e^{-t}dt,\quad n>0 \tag 4Γ(n)=∫0∞tn−1e−tdt,n>0(4)
Γ(n+1)=nΓ(n)\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)Γ(n+1)=nΓ(n)
当 n<0n<0n<0,
Γ(n)=Γ(n+1)/n,n<0(5)\Gamma(n)=\Gamma(n+1)/n, \quad n<0 \tag 5Γ(n)=Γ(n+1)/n,n<0(5)
Γ(−0.5)=Γ(0.5)/(−0.5)=−2πΓ(−1.5)=Γ(−0.5)/(−1.5)=43π\Gamma(-0.5)=\Gamma(0.5)/(-0.5)=-2\sqrt \pi \\ \Gamma(-1.5)=\Gamma(-0.5)/(-1.5)={4\over 3}\sqrt \piΓ(−0.5)=Γ(0.5)/(−0.5)=−2πΓ(−1.5)=Γ(−0.5)/(−1.5)=34π

Γ(1)=0!=1Γ(0)=(−1)!=∞Γ(−1)=(−2)!=∞\Gamma(1)=0!=1\\ \Gamma(0)=(-1)!=\infty\\ \Gamma(-1)=(-2)!=\inftyΓ(1)=0!=1Γ(0)=(−1)!=∞Γ(−1)=(−2)!=∞
在 Ref 2 中定义
Γ(s)(−r)=N−lim⁡ϵ→0∫ϵ∞t−r−1lnste−tdt,r,s=0,1,2,⋯(6)\Gamma^{(s)}(-r)=N-\lim_{\epsilon \to 0}\int_{\epsilon}^\infty t^{-r-1}ln^ste^{-t}dt, \quad r,s=0,1,2,\cdots \tag 6Γ(s)(−r)=N−ϵ→0lim∫ϵ∞t−r−1lnste−tdt,r,s=0,1,2,⋯(6)
(where N is the neutrix)
根据定义（6）
Γ(s)(0)=Γ(s+1)(1)s+1,s=0,1,2,⋯\Gamma^{(s)}(0)={\Gamma^{(s+1)}(1)\over s+1}, \quad s=0,1,2,\cdotsΓ(s)(0)=s+1Γ(s+1)(1),s=0,1,2,⋯
特别地
Γ(0)=Γ′(1)=−γ\Gamma(0)=\Gamma'(1)=-\gamma Γ(0)=Γ′(1)=−γ
这里 γ\gammaγ 表示 Euler’s constant
γ=lim⁡n→∞∑k=1n(1k−ln⁡n)\gamma=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\ln n\right)γ=n→∞limk=1∑n(k1−lnn)
对于 r=1,2,⋯r=1,2,\cdotsr=1,2,⋯,有
Γ(−r)=(−1)rrr!−1rΓ(−r+1),r=1,2,⋯\Gamma(-r)={(-1)^r\over rr!}-{1\over r}\Gamma(-r+1), \quad r=1,2,\cdots Γ(−r)=rr!(−1)r−r1Γ(−r+1),r=1,2,⋯
在 Proof 中，有一项 ϵ−re−ϵr{\epsilon^{-r}e^{-\epsilon}\over r}rϵ−re−ϵ 极限值，通过对e−ϵrϵ−r{e^{-\epsilon}\over r \epsilon^{-r}}rϵ−re−ϵ 分子分母对ϵ\epsilonϵ 的 r 次求导得到 (−1)rrr!{(-1)^r\over rr!}rr!(−1)r.

Ref：

Gamma Function for Different Negative Numbers and Its Applications
Some Results on the Gamma Function for Negative Integers

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