图论(4)邻接矩阵,关联矩阵
目录
一、图的代数表示
(一)图的邻接矩阵
1.邻接矩阵定义
2.邻接矩阵性质
(二)图的关联矩阵
1.定义
2.关联矩阵的性质
一、图的代数表示
一个图可以用定义描述,图形表示和代数表示,代数表示即用邻接矩阵或关联矩阵表示。
(一)图的邻接矩阵
1.邻接矩阵定义
2.邻接矩阵性质
(1)非负性与对称性
邻接矩阵中的元素都是非负的,且关于主对角线对称。
(2)同一图的不同形式的邻接矩阵是相似矩阵
同一图的不同形式或许是指同一个图,但是对于点的排序不一样
(3)如果G为简单图,则A(G)是布尔矩阵,其中行和(列和)等于对应顶点的度数,矩阵元素总和为图的总度数,即图中边数的两倍。
(4)G连通的充分必要条件是,A(G)不能与如下矩阵相似
因此,非连通图的邻接矩阵一定能够写成准对角阵形式。
(5),
这里的幂次明显是通过矩阵乘法来实现的。这里拿a11再举个例子,A*A矩阵中,a11代表从v1到v1的途径长度为2的
途径的条数。这里有e1e1, e2e2,e3e3,e2e3,e3e2一共五条长度为2的途径,所以a11等于5一点没错,哈哈
进一步地,如果G是简单图,则有如下推论:
(二)图的关联矩阵
1.定义
关联矩阵是通过点和边共同定义的,即我们不但要给点编序号,给边也要编序号,而邻接矩阵只需要给点编号就行了。
邻接矩阵肯定是方阵,关联矩阵的尺寸是点数乘以边数
2.关联矩阵的性质
(1)关联矩阵的元素为0或1或2
(2)关联矩阵每列和为2,因为一条边一定跟两个顶点关联
关联矩阵每行和为对应顶点的度数。
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