实对称和矩阵正定的关系

实对称矩阵合同于一个对角矩阵

任何n元二次型x^TAx ，都可以通过坐标变换化为标准型。

n元二次型x^TAx ，其中A是实对称矩阵，必存在正交变换x=Qy（Q是正交矩阵）使得xT A x 化为标准型。

A正定<==>所有特征值为正

> 设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

因为A是n阶正定阵，所以其特征值均大于0．
设λ为A的一个特征值，ξ为对应与λ的一个特征向量，则：
（A+E）ξ=Aξ+ξ=λξ+ξ=（λ+1）ξ，即λ+1为A+E的特征值．
注意到λ＞0，故：A+E的特征值均大于1．
设A+E的特征值为：λ 1 ，λ 2 ，…，λ n ，则 λ i ＞1，
从而：|A+E|=λ1 λ2 …λn ＞1．

设A为n阶实对称阵，且A³-3A²+5A-3E=O,证明A正定

证：设λ为A的任意一个特征向量ξ对应的特征值，则
(A³-3A²+5A-3E)ξ=(λ³-3λ²+5λ-3)ξ
=(λ³-λ²-2λ²+2λ+3λ-3)ξ
=(λ-1)(λ²-2λ+3)ξ=0
特征向量ξ≠0，故(λ-1)(λ²-2λ+3)=0，
得唯一实根λ=1(实对称矩阵的特征值都是实数)
即A的所有特征值都是正数，故实对称矩阵A正定。

设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵

Aξ=aξ,a>0
(A-E)ξ=(a-1)ξ,a-1>0
(E-A^-1)ξ=(1-1/a)ξ,有1-1/a>0
特征值均大于0，故正定

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