概率论

第4章随机变量的数字特征
- 4.1 随机变量的数学期望
- - 4.1.1 离散型随机变量的数学期望
  - 4.1.2 连续型随机变量的数学期望
  - 4.1.3 随机变量函数的数学期望
  - 4.1.4 数学期望的性质
- 4.2 随机变量的方差
- - 方差的的定义
  - 方差的性质
- 常见分布的期望和方差：

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第4章随机变量的数字特征

4.1 随机变量的数学期望

随机变量的数学期望，也称为随机变量的平均值。数学期望刻画了随机变量取值的平均性质。

随机变量的方差刻画了随机变量取值的波动特性。

4.1.1 离散型随机变量的数学期望

定义 4.1 设 XXX 为离散型随机变量,其分布列为
P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯,P(X=x_{i})=p_{i},\qquad i=1,2,\cdots, P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯,
若级数 ∑i=1∞xipi\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}p_{i}∑i=1∞xipi 绝对收敛，则称其和为随机变量 XXX (或其分布)的数学期望,简称为期望或均值,记为 EXEXEX ，即
EX=∑i=1∞xipi.EX=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}p_{i}. EX=i=1∑∞xipi.
当级数 ∑i=1∞xipi\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}p_{i}∑i=1∞xipi 非绝对收敛时，称随机变量 XXX (或其分布)的数学期望不存在。

4.1.2 连续型随机变量的数学期望

定义 4.2 设随机变量 XXX 的密度函数为 f(x)f(x)f(x) ，若积分 ∫−∞+∞xf(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx∫−∞+∞xf(x)dx 绝对收敛，则称其值为 XXX (或其分布)的数学期望，简称为期望或均值，记为 EXEXEX ，即
EX=∫−∞+∞xf(x)dx.EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx. EX=∫−∞+∞xf(x)dx.
（随机变量乘密度函数求积分）

4.1.3 随机变量函数的数学期望

定理 4.1 设 Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X)，其中 XXX 为随机变量，g(x)g(x)g(x) 为连续函数.

(1) 设离散型随机变量 XXX 的分布列为 P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯P(X=x_{i})=p_{i},\qquad i=1,2,\cdotsP(X=xi)=pi,i=1,2,⋯ . 若级数 ∑i=1∞g(xipi)\sum_{i=1}^{\infty}g(x_{i}p_{i})∑i=1∞g(xipi) 绝对收敛，则 Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X) 的数学期望为
EY=E[g(X)]=∑i=1∞g(xi)piEY=E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i)p_{i} EY=E[g(X)]=i=1∑∞g(xi)pi
(2) 若连续型随机变量 XXX 的密度函数为 f(x)f(x)f(x)，且积分 ∫−∞+∞g(x)f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx∫−∞+∞g(x)f(x)dx 绝对收敛，则 Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X) 的数学期望为
EY=E[g(X)]=∑i=1∞∫−∞+∞g(x)f(x)dxEY=E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx EY=E[g(X)]=i=1∑∞∫−∞+∞g(x)f(x)dx
定理 4.2 设 Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)，其中 g(x,y)g(x,y)g(x,y) 为二元连续函数.

(1) 若二维离散型随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的分布列为 P(X=xi,Y=yi)=pij,i,j=1,2,⋯P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij},\; i,j=1,2,\cdotsP(X=xi,Y=yi)=pij,i,j=1,2,⋯，且级数 ∑i=1∞∑j=1∞g(xi,yi)pij\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}∑i=1∞∑j=1∞g(xi,yi)pij 绝对收敛，则
EZ=E[g(X,Y)]=∑i=1∞∑j=1∞g(xi,yi)pijEZ=E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij} EZ=E[g(X,Y)]=i=1∑∞j=1∑∞g(xi,yi)pij
(2) 若二维连续型随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的密度函数为 f(x,y)f(x,y)f(x,y)，且积分 ∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy 绝对收敛，则
EZ=E[g(X,Y)]=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdyEZ=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy EZ=E[g(X,Y)]=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy
特别地，当 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 是连续型随机变量时，X，Y 的数学期望分别为
EX=∫−∞+∞∫−∞+∞xf(x,y)dxdyEX=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy EX=∫−∞+∞∫−∞+∞xf(x,y)dxdy

EY=∫−∞+∞∫−∞+∞yf(x,y)dxdyEY=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy EY=∫−∞+∞∫−∞+∞yf(x,y)dxdy

4.1.4 数学期望的性质

设 X,YX,YX,Y 为随机变量，且 EX,EYEX,EYEX,EY 存在.

EC=CEC=CEC=C.
E(aX+bY)=aEX+bEYE(aX+bY)=aEX+bEYE(aX+bY)=aEX+bEY.
E(aX)=aEX,E(X+Y)=EX+EYE(aX)=aEX, E(X+Y)=EX+EYE(aX)=aEX,E(X+Y)=EX+EY.
E(kX+b)=kEX+bE(kX+b)=kEX+bE(kX+b)=kEX+b
若 X,YX,YX,Y 相互独立，则有 E(XY)=(EX)(EY)E(XY)=(EX)(EY)E(XY)=(EX)(EY).
若 X≥0X\geq 0X≥0，则有 EX≥0EX \geq 0EX≥0；若 X≤YX\leq YX≤Y，则有 EX≤EYEX \leq EYEX≤EY.
∣EX∣≤E∣X∣|EX|\leq E|X|∣EX∣≤E∣X∣ .

4.2 随机变量的方差

方差的的定义

定义 4.3 设 XXX 为随机变量,若 E(X−EX)2E(X-EX)^2E(X−EX)2 存在，则称它为随机变量 XXX 的方差，记为 DXDXDX 。即
DX=E(X−EX)2DX=E(X-EX)^2 DX=E(X−EX)2
而 DX\sqrt{DX}DX 称为随机变量 XXX 的标准差或均方差.

离散型： DX=∑k(xk−EX)2pkDX=\sum_{k}(x_k-EX)^{2}p_kDX=∑k(xk−EX)2pk

连续型： DX=∫−∞+∞(x−EX)2f(x)dxDX=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dxDX=∫−∞+∞(x−EX)2f(x)dx

常用的计算随机变量方差的另一公式：
DX=E(X2)−(EX)2DX=E(X^2)-(EX)^2 DX=E(X2)−(EX)2

方差的性质

DC=0DC=0DC=0
对任一随机变量 XXX 有 DX≥0DX\geq 0DX≥0. DX=0DX=0DX=0 的充要条件是存在常数 C, 使得 P(X=C)=1P(X=C)=1P(X=C)=1.
D(CX+b)=C2DXD(CX+b)=C^2DXD(CX+b)=C2DX
D(X±Y)=DX+DY±2E[(X−EX)(Y−EY)]D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2E[(X-EX)(Y-EY)]D(X±Y)=DX+DY±2E[(X−EX)(Y−EY)]
特别地，若 X 与 Y 独立，则有 D(X±Y)=DX+DYD(X\pm Y)=DX+DYD(X±Y)=DX+DY （注意最后一定是+）
对任意常数 C≠EXC\neq EXC=EX，有 DX=E(X−EX)2<E(X−C)2DX=E(X-EX)^2<E(X-C)^2DX=E(X−EX)2<E(X−C)2

标准化：
X∗=X−EXDXX^*=\frac{X-EX}{\sqrt{DX}} X∗=DXX−EX

EX∗=0EX^*=0 EX∗=0

DX∗=1DX^*=1 DX∗=1

证明：EX∗=E(X−EXDX)=1DX(EX−EX)=0证明：EX^*=E(\frac{X-EX}{\sqrt{DX}})=\frac{1}{\sqrt{DX}}(EX-EX)=0 证明：EX∗=E(DXX−EX)=DX1(EX−EX)=0

证明：DX∗=1DXD(X−EX)=DXDX=1证明：DX^*=\frac{1}{DX}D(X-EX)=\frac{DX}{DX}=1 证明：DX∗=DX1D(X−EX)=DXDX=1

常见分布的期望和方差：

分布	定义	EX	DX
0-1分布	P(X=k)=pk(1−p)1−k，k=0,1,2,⋯P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}，k=0,1,2,\cdotsP(X=k)=pk(1−p)1−k，k=0,1,2,⋯	ppp	pqpqpq
二项分布 B(n,p)B(n,p)B(n,p)	P(X=k)=Cnkpkqn−k，k=0,1,2,⋯P(X=k)=C_n^k p^kq_{n-k}，k=0,1,2,\cdotsP(X=k)=Cnkpkqn−k，k=0,1,2,⋯	npnpnp	npqnpqnpq
几何分布 G(p)(1<p<1)G(p)(1<p<1)G(p)(1<p<1)	P(X=k)=(1−p)k−1p，k=1,2,⋯P(X=k)=(1-p)^{k-1}p，k=1,2,\cdotsP(X=k)=(1−p)k−1p，k=1,2,⋯	1p\frac{1}{p}p1	1−pp2\frac{1-p}{p^2}p21−p
泊松分布 P(λ)(λ>0)P(\lambda)(\lambda>0)P(λ)(λ>0)	P(X=k)=λkk!e−λ，k=0,1,2,⋯P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}，k=0,1,2,\cdotsP(X=k)=k!λke−λ，k=0,1,2,⋯	λ\lambdaλ	λ\lambdaλ
均匀分布	f(x)={1b−a,x∈[a,b]0,elsef(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & else \end{cases}f(x)={b−a1,0,x∈[a,b]else	a+b2\frac{a+b}{2}2a+b	(b−a)212\frac{(b-a)^2}{12}12(b−a)2
指数分布 E(λ)(λ>0)E(\lambda)(\lambda>0)E(λ)(λ>0)	f(x)={λe−λx,x>00,elsef(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & else \end{cases}f(x)={λe−λx,0,x>0else	1λ\frac{1}{\lambda}λ1	1λ2\frac{1}{\lambda ^2}λ21
正态分布 N(μ,σ2)(σ>0)N(\mu,\sigma ^2)(\sigma>0)N(μ,σ2)(σ>0)	N(μ,σ2)(σ>0)N(\mu,\sigma ^2)(\sigma>0)N(μ,σ2)(σ>0)	μ\muμ	σ2\sigma ^2σ2

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