【算法】群论(group theory) -李群与李代数

群论❀

群论(group theory) 代数学的一个分支.群是数学中广泛存在的一个重要概念,它的出现始于18世纪末.19世纪中叶,凯菜(Cayley,A.)首先给出了群的公理化定义,后来在物理、化学等学科中找到了重要的应用,例如,一个集合的所有置换构成一个群,又如,数学的某些系统或其他系统的自同构群等.因而,作为独立数学分支的群论是在其他研究工作中逐渐形成的,群的定义常见的有如下两种

凯利是英国数学家（1821年8月16日─1895年1月26日），生于里士满 (Richmond)，卒于剑桥。1859年当选为伦敦皇家学会会员。是英国数学家。生于里士满 (Richmond)，卒于剑桥。17岁时考入剑桥大学的三一学院，毕业后留校讲授数学，几年内发表论文数十篇。1846年转攻法律学，三年后成为律师，工作卓有成效。任职期间，他仍业馀研究数学，并结识数学家西尔维斯特（Sylvester）。1863年应邀返回剑桥大学任数学教授。他得到牛津大学、都柏林大学和莱顿大学的名誉学位。1859年当选为伦敦皇家学会会员。

由于群的抽象性,尽管群广泛存在,并且早在欧几里得(Euclid)时代,群的思想在《几何原本》中已经出现,但却迟至18世纪末期才真正萌生群的概念,此后,直到19世纪中叶是群论的孕育时期,拉格朗日(Lagrange,J.-L.)、柯西(Cauchy,A.-L.)、伽罗瓦(Galois,E.)、西洛(Sylow,L.)等人的工作中已包含了丰富的群论思想与基本结果,特别地,在伽罗瓦关于代数方程的杰出研究中运用现代群论的这些基本思想与结论,显示了巨大威力,这是数学史上的重要一页.1854年,凯菜第一次给出了群的公理化定义后,1870年出版了由若尔当(Jordan,M. E.C.)撰写的第一本有影响的群论著作,群论才真正成为一个独立学科,此后,克菜因(Klein,C. F.)从,几何的角度考虑,发表了著名的埃尔朗根(Erlangen )纲领,李(Lie,M. S.)由微分方程的研究,引入了李群(现在,李群已独立成为另一分支学科).群已被广泛地应用,并独立地发展成为一个庞大的多方向的代数分支,至今仍长盛不。

群论发展的历史错综复杂,它涉及众多著名数学家以及不少数学领域和其他科学领域,而作为代数分支的群论,主要指那些以群或其推广为主要研究对象,以代数方法为主要研究方法的各种理论.当今群论包括基础理论、置换群论、群表示论、抽象有限群论、无限群的有限群结构及分类理论、无限群有限群的专门方向、线性代数群(含典型群)、半,群、群的各种推广等十多个下属分支学科.群论是以公理化的形式出现的,随着发展,其研究课题、思想与方法愈来愈丰富多彩,在具体方法上常常以作用的形式出现,如在集合上的置换作用、在空间上施加一个旋转作用等,所以群论与其他数学学科、自然科学学科的相互渗透及群的应用都相当广泛,群论复杂的历史与复杂的现状足以说明这点,这也正是群论的生命力之所在.例如,群论特别是群表示论对量子物理与量子化学的应用形成了个单独的边缘分支学科。

参考：如何直观地理解群论？

群论是描述对称的数学理论。上边提出的“广义的对称”其实远远超出几何图形的范畴。群最早的应用就是解决n次方程的求解，对称群作用在方程的根上（后来解释成作用在有理数域的扩张域上）。李群最早是用来解微分方程的，群作用在解上。另一个例子就是物理学家最爱提的对称：作用的对象是物理定律，具体地说是可以导出运动方程的Lagrangian，而所允许的“作用”包括平移、旋转所带来的变化，也包括相对论的时空转换，甚至更玄奥的gauge transformation。

对于长方形，对称可以是左右翻转，上下翻转，也可以转180度，更重要的是对称还可以是“什么都不做”！一定不要被中文“对称”（或英文symmetry）迷惑而只看到对折类的对称。这种广义的对称有什么好处呢？最大的好处是我们可以把两个对称结合起来而得到第三个对称：先左右翻转，再上下翻转，结果等同于转180度！先左右翻转，再左右翻转，得到的是“什么都不做”！所以我们应该说长方形有四个对称。（再不对称的东西也至少有一个对称，即“什么都不做”。）

群的表示是表示论最初的结果，也是相对而言最完整的理论，最初量子力学里对夸克的分类就是通过群SU(3)只有三个不同的不可约三维表示得到的，这也是表示论最初的动机和起源。有限群的表示是有完全分类的，结果也很漂亮。

然后说结合代数，学过抽象代数的话会知道，结合代数比环只多了数乘结构，而在有加法的情况下数乘是很容易定义的，因此结合代数的表示几乎等价于环上的模，模论在抽象代数中的重要性大家懂的，因此结合代数的表示论也就很重要。另外群代数是结合代数的一种，因此群表示可以算是囊括在结合代数表示里的，不过群表示有更简便的研究方法，所以一般也不会用quiver去研究群表示。

李群与李代数(Lie group and Lie algebra)

李群与李代数(Lie group and Lie algebra) 代数学的重要分支学科,源于19世纪末叶,李(Lie,M.S.)在研究线性偏微分方程组解的积分曲线时,发现了无穷小变换群(这就是现代的局部李群)以及无穷小变换群的李代数,此后,他的学生恩格尔(Engel,F.)等人致力于李代数的研究,到20世纪初,嘉当(Cartan,E. (-J.))解决了复半单李代数的分类,随后,陆续解决了实半单李代数的分类,对称黎曼空间的分类,表示的分类等.同时,外尔(Weyl,(C. H. )H. )详尽地讨论了紧李群,给出了紧李群分类和紧李群的表示的分类.

严格的李群概念,在流形概念形成后,才能给出确切的定义,这已经是20世纪30年代以后的事,从,此,李群及其李代数不仅本身理论(包括结构理论和,表示理论)有着迅速的发展,而且不断地扩大应用范,围,成功地渗透到理论物理学,在爱因斯坦(Einstein, A.)的相对论中,运动群就是洛伦茨(Lorentz,G. G. )群,这是一个四维实单李群.李群理论的深人发展,派生出代数群理论,它们对数学的许多分支,都有深刻的影响,而从复及实李代数,自然地推广到一般域上的李代数理论,另一方面,无限维李代数也从20世纪60年代开始发展起来,最重,要的是作为复半单李代数的推广而出现的卡茨-穆迪李代数,以及维拉索罗代数,它们从一开始就和理论物理有着密切联系,且与组合数学、代数数论、孤立子理论有着深刻的联系.另一个重要发展,是考虑实半单李群在希尔伯特空间上的西表示,它和非交,换群上调和分析有着密切的关系,而和几何的联系,则是变换群理论和齐性空间理论,此外,李群的离散,子群的研究,又和代数数论密切相关、

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