【数学建模】（3）插值模型精解+代码

插值模型

概述
实际生活中，我们会使用各种各样的函数。对于y=exp(sinx)等难以计算、比较复杂的函数，我们希望找到一个近似的替代函数来方便计算y的粗略值。我们需要用一个比较简单的函数y=y(x)来近似代替数据,或近似代替函数y=f(x)，使得：y(xi) = f(xi)，i = 0,1,2,…,n，称y=y(x)为函数y=f(x)在点x0,x1,…,xn处的插值函数。
插值法的基本原理
求过已知有限个数据点（插值节点）的近似函数（插值函数）。
插值模型
1）范围：当数据量不足，需要补充，且认定已有数据可信时，通常利用函数插值方法建立插值模型。
2）目标：根据一组观测数据寻找函数关系。
3）具体方法

3.1 一维插值

3.1 线性模型
3.2 插值法的分类
a，若$P(x)$是次数不超过n的代数多项式，即$P(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x$
b，若$P(x)$是分段多项式，就成为分段插值
c，若$P(x)$是三角多项式，就成为三角插值，

function y = lagrange(x0,y0,x)
ii = 1:length(x0);
y = zeros(size(x));
for i = iiij = find(ii~=i); yi = 1;for j=1:length(ij), y1 = y1.*(x-x0(ij(j)));endy = y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij));
end

注意：

高次插值会产生龙格现象，即在两端处波动极大，产生明显的震荡。在不熟悉曲线运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值

3.2分段线性插值模型

作用：提高插值精度
概念：给出x，在与之相邻的两点之间构造函数，寻找
分段二次插值：选取跟节点x最近的三个节点 x i − 1 , x i , x i + 1 x_{i-1},x_{i},x_{i+1} xi−1,xi,xi+1进行二次插值，即在每一个区间 [ x i − 1 , x i + 1 ] [x_{i-1},x_{i+1}] [xi−1,xi+1]上，取：
f ( x ) f(x) f(x) ≈ \approx ≈ L 2 ( x ) = L_{2}(x)= L2(x)= ∑ k = i − 1 i + 1 \sum_{k=i-1}^{i+1} ∑k=i−1i+1
φ \varphi φ ( x ) (x) (x) = ∑ i = 0 n \sum_{i=0}^n ∑i=0n y i y_{i} yi l i l_{i} li ( x ) (x) (x)，其中

3.3 Lagarange插值（抛物插值、二次插值）

对给定的n个插值点x1,x2,⋯,xnx1,x2,⋯,xn及对应的函数值y1,y2,⋯,yny1,y2,⋯,yn，利用构造的n-1次Lagrange插值多项式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求的：
互异的三点联立得到带入模型： P ( x ) P(x) P(x) = a 2 x 2 a_{2}x{^2} a2x2 + a 1 x a_{1}x a1x + a 0 a_{0} a0
几何意义：

化简后得到的插值函数：

function y = lagrange(x0,y0,x)
ii = 1:length(x0);
y = zeros(size(x));
for i = iiij = find(ii~=i); yi = 1;for j=1:length(ij), y1 = y1.*(x-x0(ij(j)));endy = y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij));
end

例一：给出f(x)=ln(x)的数值表，用Lagrange计算ln(0.54)的近似值。

>> x=[0.4:0.1:0.8]；
>> y=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144];
>> lagrange(x,y,[0.54,0.55,0.78])
ans =-0.6161   -0.5978   -0.2484

3.4 分段三次（Hermite）插值
许多实际问题不但要求插值函数j(x)在插值节点处与被插函数f(x)有相同的函数值j(xi)=f(xi) (i=0,1,2,…,n), 而且要求在有些节点或全部节点上与f(x)的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，能满足这种要求的插值问题就称为Hermite插值。

Hermite插值公式：

MATLAB实现：

hermite.m
function y=hermite(x0,y0,y1,x)
n=length(x0);  m=length(x);
for k=1:m    yy=0.0;for i=1:n        h=1.0;  a=0.0;for j=1:nif j~=ih=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;a=1/(x0(i)-x0(j))+a;endendyy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));endy(k)=yy;
end

例二：对给定数据,试构造Hermite多项式求出sin0.34的近似值。

>> x0=[0.3,0.32,0.35];
>> y0=[0.29552,0.31457,0.34290];
>> y1=[0.95534,0.94924,0.93937];
>> y=hermite(x0,y0,y1,0.34)
y =0.3335
>> sin(0.34)               ％与精确值比较
ans =0.3335

例3：

>> x=[0.3:0.005:0.35];
>>y=hermite(x0,y0,y1,x);>> plot(x,y)>> y2=sin(x);
>>hold on>> plot(x,y2,'--r')

3.5 n维数据的插值

p = interpn(x1,x2,…,xn,y,new_x1,new_x2,…,new_xn,method)
%x1,x2,…,xn是已知样本点的横坐标
%y是已知样本点的纵坐标
%method是要插值的方法
%'linear’线性插值（默认算法）
%‘cubic’：三次插值
%‘spline’：三次样条插值法（最为精准）
%‘nearest’：最邻近插值算法

% n维数据插值
x = -pi:pi;y = sin(x);
new_x = -pi:0.1:pi;
p = spline(x,y,new_x);
%等价于p = interpn(x,y,new_x,'spline');
figure(3);
plot(x,y,'o',new_x,p,'r-')
%线方式： -实线  ：点线 -.虚点线 --波点线
%点方式：.圆点 +加号 *星号 x x形 o小圆
%颜色： y黄 r红 g绿 b蓝 w白 k黑 m紫 c青

例子：

%人口预测
population=[133126,133770,1224413,135069,135738,136427,137122,137866,138639,139538];
year = 2009:2018;
p1 = pchip(year,population,2019:2021)%分段三次埃尔米特插值预测
p2 = spline(year,population,2019:2021)%三系样条插值预测
figure(4);%对图进行命名
plot(year,population,'o',2019:2021,p1,'r*-',2019:2021,p2,'bx-')
legend('样本点','三次埃尔米特插值预测','三次样条插值预测','SouthEast')