供应链单级多周期库存补货模型

1. 经典EOQ模型及其基本假设

1.1. 什么是EOQ

EOQ，即 经济订购批量模型，是库存模型的理论基础，也是库存理论的基础模型，其核心是：在订货成本与库存成本之间寻找一个平衡，使得订货能够满足市场预估需求，而且成本最小化。可以用下面的一幅图来表示，订货成本逐渐下降，是因为随着订货量的增加，可以拿到数量价格折扣，同时单位运输成本也会下降，这是符合人们的直觉的，但是只要订货就会产生库存费用，而且库存费用是递增的。因此，一定有一个平衡点，使得订货成本和库存持有成本最小化的。

基于EOQ模型，学界和工业界根据具体的市场情况发展并丰富了EOQ模型，包括多级库存理论，需求变化和库存成本变化的EOQ，时变运输周期的EOQ，能力受限的EOQ 等，因此，我们要知道，EOQ虽然重要，但是也包含着极大的缺陷，很难直接应用在现实的供应链采购和仓储管理之中，当然现实中还是有很多产品是符合EOQ的基本假设要求的，比如方便面，牙膏，大米等不受季节因素或其他市场因素明显影响且销量稳定的产品，当然，真正头疼的并不是这类型的产品。

1.2. EOQ基本假设

不管学习什么数学模型，总是要先看其基本假设和适用范围，EOQ也不例外。
EOQ的基本假设如下：
- 不允许缺货，即缺货费用Cs无穷大。
- 当库存将至零，可以立即得到补充（生成时间很短，可以近似看做零）。
- 需求是连续的，均匀的，需求速率是R
- 每次订货量Q不变，订购费C0不变（每次生产量不变，装配费不变）。
- 单位存储成本不变。

其补货和库存变化如下图：

1.3. EOQ的数学推导

一个周期t内的总存储量为：

12Qt12Qt

\frac{1}{2}Qt

一个周期t内的总费用 F(t)=订购费+存储费+货物成本费
=订购费率 x 订购次数+总存储量 x 存储费率+货物单价P x 货物总需求量
= C0×1+12QtCh+PRtC0×1+12QtCh+PRt{C_0} \times 1 + \frac{1}{2}Qt{C_h} + PRt

单位时间内的总费用（库存系统总费用率）为：

f(Q)=F(t)t=C0×1+12QtCh+PRtt=C0RQ+12ChQ+PRf(Q)=F(t)t=C0×1+12QtCh+PRtt=C0RQ+12ChQ+PR

f(Q) = \frac{{F(t)}}{t} = \frac{{{C_0} \times 1 + \frac{1}{2}Qt{C_h} + PRt}}{t} = \frac{{{C_0}R}}{Q} + \frac{1}{2}{C_h}Q + PR

其中：f0=C0RQ,fh=12ChQf0=C0RQ,fh=12ChQ {f_0} = \frac{{{C_0}R}}{Q},{f_h} = \frac{1}{2}{C_h}Q ,前者是单位时间的订购费，后者是单位时间的存储费，PR是常数，在考虑存储系统总费用时，PR可以忽略不计。

最优存储策略：
在求极值的数学问题中，另导数为零，可以得到最优的订购策略。
另 df(Q)dQ=0df(Q)dQ=0 \frac{{df(Q)}}{{dQ}} = 0 ，得
- 1 最佳订购批量（或最大库存量）

Q∗=2RC0Ch−−−−−√Q∗=2RC0Ch

{Q^*} = \sqrt {\frac{{2R{C_0}}}{{{C_{\rm{h}}}}}}
这就是著名的经济订购批量检查EOQ公式.
- 2 最优存储周期(订货周期)

t∗=Q∗t=2C0RCh−−−−−√t∗=Q∗t=2C0RCh

{{\rm{t}}^*} = \frac{{{Q^*}}}{t} = \sqrt {\frac{{2{C_0}}}{{R{C_h}}}}
- 3 最优总存储费用

f∗=f0∗+fh∗=2RC0Ch−−−−−−−√f∗=f0∗+fh∗=2RC0Ch

{f^*} = {f_0}^* + {f_h}^* = \sqrt {2R{C_0}{C_{\rm{h}}}}

2. 需求变化的EOQ模型

需求变化的EOQ描述

从经典的EOQ模型假设出发，我们看到，EOQ假设需求稳定且恒定，每个周期的订货量都是一定的，而且周期长度都一样，在现实中有很多产品不是这样的，特别是有明显季节性的服装产品，有明显生命周期的电子产品，在每个周期内的销量明显不一样，上市前期进行试推广预售，然后销量快速上升，过了销售旺季或者生命周期顶峰后，进入衰退期，销量趋势如下图：

动态规划求解需求变化问题

对于多周期订购问题，可以通过动态规划的方法求解。
其实从人脑的简单思维来说，遇到这种组问题，首先想到的不是什么算法，而是暴力搜索，一个个数凑总是能凑出来的。而动态规划，就是暴力搜索的一种改进，可以以你想不到的效率找到最优解，而不是一个个组合参数去尝试。
多说一个，其实很多智能优化算法，其本质也是这种暴力搜索的改进，本质很是暴力搜索。说来也有趣，智能优化算法是没有严格的数学推导的，但是结果还不错，比如粒子群算法，遗传算法，禁忌搜索算法等。

这里讲一下使用动态规划求解的方法，使用运筹学中的一个例子说明问题，把生产换成采购，就是最开始说的EOQ问题了。
问题描述如下：
未来3个月的销量预测已知，为3w，4w，3w，如果启动生成，则启动费用为3万每次，而且每个产品的成本是1元，每件产品的每月的存储费用为0.7元。
第一个月和第四个月的库存为0，求最优生产计划。

–>1月–>2月–>3月–>4月

变量如下：
k: 表示不同的阶段,这里有4个月，则k=1,2,3,4
Sk:表示月初库存，因为第1,4个月的月初库存为0,则S1=0, S4=0
xk:表示决策变量，即当月要生产的量，1月肯定是要生产的，因为此时库存为0，而且1月生产的可以留着以后买，如果1月生产未来全部月份的需求，则1月最大生产为10w，同理，2月生产的只能是2月和3月卖，因此2月最大生产7w，3月最大生产3w。
x1={3,4,5,6,7,8,9,10}, x2={0,1,2,3,4,5,6,7}, x3={0,1,2,3}
状态转移方程：

SK+1=SK+xk−dkSK+1=SK+xk−dk

{S_{{\rm{K + }}1}} = {S_K} + {x_k} - {d_k}
dkdk {d_k} 是每月的需求量， SKSK {S_K} 是月初库存
阶段指标函数（成本=生产费用+存储费用） rk(xk)rk(xk) {r_k}({x_k})

rk(xk)={3+xk+0.7Sk,xk>00.7Sk,xk=0rk(xk)={3+xk+0.7Sk,xk>00.7Sk,xk=0

{r_{\rm{k}}}({x_k}) = \left\{ \begin{array}{l} 3 + {x_k} + 0.7{S_k},{x_k} > 0\\ 0.7{S_k},{x_k} = 0 \end{array} \right.

递推方程：

fk(SK)=Min([rk(xk)+fk+1(Sk+1)],k=1,2st.xk≥0Sk+xk≥dkfk(SK)=Min([rk(xk)+fk+1(Sk+1)],k=1,2st.xk≥0Sk+xk≥dk

\begin{array}{l} {f_k}({S_K}) = M{\rm{in}}([{r_{\rm{k}}}({x_k}) + {f_{k + 1}}({S_{k + 1}})],k = 1,2\\ st.\\ {x_k} \ge 0\\ {S_k} + {x_k} \ge {d_k} \end{array}

3. 考虑订购提前期的EOQ模型

在前面的EOQ假设中，有一个假设就是补货能力无穷大，能够做到瞬时补货。什么意思呢，就是我在1号下单，货物马上就能送到仓库。这是不符合现实情况啊，就算是京东物流起码也要半天啊，国内快递一般2-3天，因此这也是EOQ不合理的地方。
但是不影响我们使用啊，因为我们可以通过业务流程优化来到达瞬时补货的功能。
比如，EOQ模型中，4月1号需要补货，实际的订购提前期是5天，那么我们只要在3月25日下达订单，那么4月1日就会有一批货物到达仓库入库，和EOQ模型保持一致了。如下图：

4.动态规划求解多周期库存python代码

待补充.

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