统计公差分析--正态分布基本概念（MarkDown编辑器）

2024-05-15 00:07:37

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正态分布

X∼N(μ,σ)X\sim N(\mu ,\sigma ) X∼N(μ,σ)
fX(x)=12πσe−(x−μ)2/2σ2f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}} fX(x)=2πσ1e−(x−μ)2/2σ2

一、标准正态分布

当μ=0,σ=1\mu =0, \sigma =1μ=0,σ=1时,服从标准正态分布，标准正态分布概率密度函数：
fX(x)=12πe−x2/2f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^{2}/2}fX(x)=2π1e−x2/2
标准正态分布图像：

合格率P:
P(−x≤X≤x)=2∫0xfX(x)dx=2∫0x12πe−x2/2dxP(-x\leq X\leq x)=2{\int_{0}^{x}}f_{X}(x)dx=2{\int_{0}^{x}}\frac{1}{\sqrt2\pi }e^{-x^{2}/2}dxP(−x≤X≤x)=2∫0xfX(x)dx=2∫0x2π1e−x2/2dx
x和∫0x12πe−x2/2dx{\int_{0}^{x}}\frac{1}{\sqrt2\pi }e^{-x^{2}/2}d_{x}∫0x2π1e−x2/2dx的关系可查表可得

二、非标准正态分布

当μ≠0,σ≠1\mu \neq 0, \sigma \neq 1μ=0,σ=1时,服从正态分布X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu ,\sigma^{2} )X∼N(μ,σ2)，正态分布概率密度函数：
fX(x)=12πσe−(x−μ)2/2σ2f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}fX(x)=2πσ1e−(x−μ)2/2σ2
图像：
合格率P:
P(2μ−x⩽X⩽x)=2∫2μ−xxfX(x)=2∫2μ−xx12πσe−(x−μ)2/2σ2dxP(2\mu -x\leqslant X\leqslant\ x)=2{\int_{2\mu-x }^{x}}f_{X}(x)=2{\int_{2\mu-x }^{x}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dxP(2μ−x⩽X⩽ x)=2∫2μ−xxfX(x)=2∫2μ−xx2πσ1e−(x−μ)2/2σ2dx
积分直接不好计算，利用换元法转化为标准正态分布，可查表，令Z=X−μσZ=\frac{X-\mu }{\sigma }Z=σX−μ,即X=Zσ+μX=Z\sigma +\muX=Zσ+μ，把X=Zσ+μX=Z\sigma +\muX=Zσ+μ带入上式得：
P(μ−zσ⩽X⩽μ+zσ)=P(\mu -z\sigma \leqslant X \leqslant \mu+z\sigma )=P(μ−zσ⩽X⩽μ+zσ)=
P(−z⩽Z⩽z)=2∫μμ+zσ12πe−z2/2dz=2∫0z12πe−z2/2dzP( -z \leqslant Z\leqslant\ z )=2{\int_{\mu }^{\mu +z\sigma }}\frac{1}{\sqrt{2\pi} }e^{-z^{2}/2}dz=2{\int_{0 }^{z }}\frac{1}{\sqrt{2\pi} }e^{-z^{2}/2}dzP(−z⩽Z⩽ z)=2∫μμ+zσ2π1e−z2/2dz=2∫0z2π1e−z2/2dz

zσ\sigmaσ为上偏差、-zσ\sigmaσ为下偏差、2zσ\sigmaσ为公差；
例子：
①z=3，合格率只与z值有关，与 σ\sigmaσ大小无关；
② 当偏差一定时， σ\sigmaσ越小，z就越大，合格率提高（这里不是因为变小而改变合格率，而是z增大使得合格率提高）

三、标准正态表

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