泰勒公式的麦克劳林展开式与等价无穷小

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2x2+f′′′(0)3!x3+...+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)f(x)=f(0)+f′(0)x+2f′′(0)x2+3!f′′′(0)x3+...+n!f(n)(0)xn+o(xn)

x→0x→0x→0

sinx=x−16x3+o(x3)sinx=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)sinx=x−61x3+o(x3)
sinxsinxsinx ~ xxx
sinx−xsinx-xsinx−x ~ −16x3-\frac{1}{6}x^3−61x3
x−sinxx-sinxx−sinx ~ 16x3\frac{1}{6}x^361x3

arcsinx=x+16x3+o(x3)arcsinx=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)arcsinx=x+61x3+o(x3)
arcsinxarcsinxarcsinx ~ xxx

tanx=x+13x3+o(x3)tanx=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)tanx=x+31x3+o(x3)
tanx−xtanx-xtanx−x ~ 13x3\frac{1}{3}x^331x3
x−tanxx-tanxx−tanx ~ −13x3-\frac{1}{3}x^3−31x3

arctanx=x−13x3+o(x3)arctanx=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)arctanx=x−31x3+o(x3)
arctanxarctanxarctanx ~ xxx
x−arctanxx-arctanxx−arctanx ~ 13x3\frac{1}{3}x^331x3

cosx=1−12x2+14!x4+o(x4)cosx=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)cosx=1−21x2+4!1x4+o(x4)
1−cosx1-cosx1−cosx ~ 12x2\frac{1}{2}x^221x2

ln(1+x)=x−12x2+13x3+o(x3)ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)ln(1+x)=x−21x2+31x3+o(x3)
ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x) ~ xxx
ln(1+x)−xln(1+x)-xln(1+x)−x ~ −12x2-\frac{1}{2}x^2−21x2
x−ln(1+x)x-ln(1+x)x−ln(1+x) ~ 12x2\frac{1}{2}x^221x2

ex=1+x+12x2+o(x2)e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)ex=1+x+21x2+o(x2)
ex−1e^x-1ex−1 ~ xxx
ex−1−xe^x-1-xex−1−x ~ 12x2\frac{1}{2}x^221x2

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)(1+x)^α=1+αx+\frac{α(α-1)}{2}x^2+o(x^2)(1+x)α=1+αx+2α(α−1)x2+o(x2)
(1+x)α−1(1+x)^α-1(1+x)α−1 ~ αxαxαx

ln(x+1+x2)=x−16x3+o(x3)ln(x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)ln(x+1+x2)=x−61x3+o(x3)

推广：
tanx−sinx=x+13x3−x+16x3+o(x3)=12x3+o(x3)tanx-sinx=x+\frac{1}{3}x^3-x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)=\frac{1}{2}x^3+o(x^3)tanx−sinx=x+31x3−x+61x3+o(x3)=21x3+o(x3)
tanx−sinxtanx-sinxtanx−sinx ~ 12x3\frac{1}{2}x^321x3
同理：sinx−tanxsinx-tanxsinx−tanx ~ −12x3-\frac{1}{2}x^3−21x3

需要熟记的幂级数（除后三个，都常用）

补充：

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（等价无穷小与幂级数）泰勒公式

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x→0x→0x→0

sinx=x−16x3+o(x3)sinx=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)sinx=x−61x3+o(x3)
sinxsinxsinx ~ xxx
sinx−xsinx-xsinx−x ~ −16x3-\frac{1}{6}x^3−61x3
x−sinxx-sinxx−sinx ~ 16x3\frac{1}{6}x^361x3

arcsinx=x+16x3+o(x3)arcsinx=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)arcsinx=x+61x3+o(x3)
arcsinxarcsinxarcsinx ~ xxx

tanx=x+13x3+o(x3)tanx=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)tanx=x+31x3+o(x3)
tanx−xtanx-xtanx−x ~ 13x3\frac{1}{3}x^331x3
x−tanxx-tanxx−tanx ~ −13x3-\frac{1}{3}x^3−31x3

arctanx=x−13x3+o(x3)arctanx=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)arctanx=x−31x3+o(x3)
arctanxarctanxarctanx ~ xxx
x−arctanxx-arctanxx−arctanx ~ 13x3\frac{1}{3}x^331x3

cosx=1−12x2+14!x4+o(x4)cosx=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)cosx=1−21x2+4!1x4+o(x4)
1−cosx1-cosx1−cosx ~ 12x2\frac{1}{2}x^221x2

ln(1+x)=x−12x2+13x3+o(x3)ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)ln(1+x)=x−21x2+31x3+o(x3)
ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x) ~ xxx
ln(1+x)−xln(1+x)-xln(1+x)−x ~ −12x2-\frac{1}{2}x^2−21x2
x−ln(1+x)x-ln(1+x)x−ln(1+x) ~ 12x2\frac{1}{2}x^221x2

ex=1+x+12x2+o(x2)e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)ex=1+x+21x2+o(x2)
ex−1e^x-1ex−1 ~ xxx
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(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)(1+x)^α=1+αx+\frac{α(α-1)}{2}x^2+o(x^2)(1+x)α=1+αx+2α(α−1)x2+o(x2)
(1+x)α−1(1+x)^α-1(1+x)α−1 ~ αxαxαx

ln(x+1+x2)=x−16x3+o(x3)ln(x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)ln(x+1+x2)=x−61x3+o(x3)

推广：
tanx−sinx=x+13x3−x+16x3+o(x3)=12x3+o(x3)tanx-sinx=x+\frac{1}{3}x^3-x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)=\frac{1}{2}x^3+o(x^3)tanx−sinx=x+31x3−x+61x3+o(x3)=21x3+o(x3)
tanx−sinxtanx-sinxtanx−sinx ~ 12x3\frac{1}{2}x^321x3
同理：sinx−tanxsinx-tanxsinx−tanx ~ −12x3-\frac{1}{2}x^3−21x3

需要熟记的幂级数（除后三个，都常用）

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x→0x→0x→0

sinx=x−16x3+o(x3)sinx=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)sinx=x−61​x3+o(x3) sinxsinxsinx ~ xxx sinx−xsinx-xsinx−x ~ −16x3-\frac{1}{6}x^3−61​x3 x−sinxx-sinxx−sinx ~ 16x3\frac{1}{6}x^361​x3

arcsinx=x+16x3+o(x3)arcsinx=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)arcsinx=x+61​x3+o(x3) arcsinxarcsinxarcsinx ~ xxx

tanx=x+13x3+o(x3)tanx=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)tanx=x+31​x3+o(x3) tanx−xtanx-xtanx−x ~ 13x3\frac{1}{3}x^331​x3 x−tanxx-tanxx−tanx ~ −13x3-\frac{1}{3}x^3−31​x3

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cosx=1−12x2+14!x4+o(x4)cosx=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)cosx=1−21​x2+4!1​x4+o(x4) 1−cosx1-cosx1−cosx ~ 12x2\frac{1}{2}x^221​x2

ln(1+x)=x−12x2+13x3+o(x3)ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)ln(1+x)=x−21​x2+31​x3+o(x3) ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x) ~ xxx ln(1+x)−xln(1+x)-xln(1+x)−x ~ −12x2-\frac{1}{2}x^2−21​x2 x−ln(1+x)x-ln(1+x)x−ln(1+x) ~ 12x2\frac{1}{2}x^221​x2

ex=1+x+12x2+o(x2)e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)ex=1+x+21​x2+o(x2) ex−1e^x-1ex−1 ~ xxx ex−1−xe^x-1-xex−1−x ~ 12x2\frac{1}{2}x^221​x2

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)(1+x)^α=1+αx+\frac{α(α-1)}{2}x^2+o(x^2)(1+x)α=1+αx+2α(α−1)​x2+o(x2) (1+x)α−1(1+x)^α-1(1+x)α−1 ~ αxαxαx

ln(x+1+x2)=x−16x3+o(x3)ln(x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)ln(x+1+x2​)=x−61​x3+o(x3)

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sinx=x−16x3+o(x3)sinx=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)sinx=x−61x3+o(x3)
sinxsinxsinx ~ xxx
sinx−xsinx-xsinx−x ~ −16x3-\frac{1}{6}x^3−61x3
x−sinxx-sinxx−sinx ~ 16x3\frac{1}{6}x^361x3

arcsinx=x+16x3+o(x3)arcsinx=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)arcsinx=x+61x3+o(x3)
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tanx=x+13x3+o(x3)tanx=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)tanx=x+31x3+o(x3)
tanx−xtanx-xtanx−x ~ 13x3\frac{1}{3}x^331x3
x−tanxx-tanxx−tanx ~ −13x3-\frac{1}{3}x^3−31x3

arctanx=x−13x3+o(x3)arctanx=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)arctanx=x−31x3+o(x3)
arctanxarctanxarctanx ~ xxx
x−arctanxx-arctanxx−arctanx ~ 13x3\frac{1}{3}x^331x3

cosx=1−12x2+14!x4+o(x4)cosx=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)cosx=1−21x2+4!1x4+o(x4)
1−cosx1-cosx1−cosx ~ 12x2\frac{1}{2}x^221x2

ln(1+x)=x−12x2+13x3+o(x3)ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)ln(1+x)=x−21x2+31x3+o(x3)
ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x) ~ xxx
ln(1+x)−xln(1+x)-xln(1+x)−x ~ −12x2-\frac{1}{2}x^2−21x2
x−ln(1+x)x-ln(1+x)x−ln(1+x) ~ 12x2\frac{1}{2}x^221x2

ex=1+x+12x2+o(x2)e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)ex=1+x+21x2+o(x2)
ex−1e^x-1ex−1 ~ xxx
ex−1−xe^x-1-xex−1−x ~ 12x2\frac{1}{2}x^221x2

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)(1+x)^α=1+αx+\frac{α(α-1)}{2}x^2+o(x^2)(1+x)α=1+αx+2α(α−1)x2+o(x2)
(1+x)α−1(1+x)^α-1(1+x)α−1 ~ αxαxαx

ln(x+1+x2)=x−16x3+o(x3)ln(x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)ln(x+1+x2)=x−61x3+o(x3)