如何使用栈非递归地求解Ackerman函数

Ackerman 函数如下：

如果用递归算法求 A(m, n) 非常简单：

int Ackerman(m, n)
{if(m==0)return n+1;else if(m>0 && n==0)return Ackerman(m-1, 1);else if(m>0 && n>0)return Ackerman(m-1, Ackerman(m, n-1));
}

那用非递归算法如何求解呢？也有很多方法。我们知道，在一般情况下，将递归算法转化程等价地非递归算法应该设置的数据结构为栈。所以这次选用栈来非递归地求解 Ackerman 函数。

既然要用到栈，我们必须考虑一个很重要的问题，那就是要把什么入栈。Ackerman 函数中一共涉及三个元素：m 、n 、函数结果值，栈中需要记录其中的一个还是多个元素呢？换句话说，遇到这种函数求值型的题目，我们是将变量（即 m 和 n）入栈，还是将函数结果值（即每层运算的 Ackerman 值）入栈呢？

接下来我们通过一个比 Ackerman(m, n) 简单的 F(n) 来探讨这个问题。

F(n) 函数如下：

F(n) 比 Ackerman(m, n) 简单在于：1）它只有一个变量n；2）它只包含两种情况。

这道题的解法是将 n 入栈，n 的值会一直除以 2 直到 n 的值为 0 为止，而顺序栈将记录这个过程中 n 的所有取值。假设我们要求 F(8) 的值，求解过程可得到下表：

所有 n 值入栈后，对应在栈中的存储形态为：

将所有的 n 值入栈后，再依次出栈，出栈时计算 F(n) 的结果。具体代码如下：

#include "stdio.h"
#include <stdlib.h>#define MAXSIZE 100;
typedef struct
{int data[MAXSIZE];int top;
} Stack;int F(n)
{Stack* S=(Stack*)malloc(sizeof(Stack));S->top=-1;int f=0;//将n值入栈for(int i=n; i>=0; i=i/2){S->top++;S->data[S->top]=i;} //将n值出栈并计算结果while(S->top>0){if(S->data[S->top]==0)f=1;elsef=f*(S->data[S->top];}return f;
}

为什么不将 F(n) 入栈呢，答案很简单，因为一开始我们并不知道 F(n) 的值是多少（如果一开始知道就不用求解了），但我们知道 n 值是多少，所以对函数求值型的题目，我们将其变量入栈。

再回到 Ackerman 函数的问题上来，由于 Ackerman(m, n) 有两个变量，需要将 m 和 n 的值入栈，所以我们不再采用顺序栈而改为采用链栈。与解 F(n) 的方法一样，我们先用一些实际的值代入 m 和 n 求解答案，以找到函数其中的规律。首先先试着人工解出 Ackerman(2, 1) 。下面的解题过程希望大家可以在纸上跟着做。

根据 Ackerman 函数的公式，我们可以列出下面的表格：

将上面表格里的 m 和 n 入栈后，对应在栈中的存储状态为：

上面的表格所列出来的计算过程还不完整，但我们可以看到表格最后一行，已经推算到了 m = 0 的情况，那么对应的这个 A(0, A(1, 0)) 怎么去计算呢，代入 Ackerman 函数，A(0, A(1, 0)) = A(1, 0) + 1，且 A(0, A(1, 0)) 并不是 A(2, 1) 的答案。于是接下去推算：

将上面表格新增的 m 和 n 入栈后，对应在栈中的存储状态为：

现在，我们知道表格倒数第 4 行的 A(0, A(1, 0)) = A(0, 2)，那么将多余的数据元素出栈并修改 A(0, A(1, 0)) 对应的数据元素的 n 值，得到下表：

接着又从上面这张表格推算出表格倒数第 5 行的 A(1, A(2,0)) = A(1, 3)，重复之前的步骤，将多余的数据元素出栈并修改 A(0, A(1, 0)) 对应的数据元素的 n 值，得到下表：

栈中的存储状态为：

到这里可以总结出一些重复步骤：在推算结果的过程中，一开始，将 m 和 n 的值入栈，然后根据公式不断换算 A(m, n) 结果，并将换算出的 A'(m', n') 中的 m' 和 n' 入栈，直到换算出一个具体数值才停止入栈。

假设 A(m, n) 的 m 和 n 已入栈，那么根据公式换算的 A'(m', n') 的 m' 和 n' 该如何入栈呢。若 m > 0 且 n > 0，则 m' = m - 1 可以正常入栈，而 n' = A''(m, n-1)，此时 n' 是一个新的公式，无法入栈，我们可以用一个标志性数值来标识它（比如 -1），就像表格里的橙色星号 * 一样，表示这个 n' 等待被计算。除 m > 0 且 n > 0 以外的两种情况，m' 和 n' 都可以正常入栈。

这样的重复入栈操作什么时候才停止呢，表格中 A(m, n) 一列的数据推算到具体数值才停止入栈，即 Top 指针指向的数据结构中，m = 0 且 n 已知时停止入栈，开始出栈。对照第二张表格的推算过程，一旦推算出 A(0, 1) = 2 ，这个 2 对应的是表格中最后一个橙色星号 * 的 n 值，也就是最邻近且等待被计算的 n 值，所以我们得到 A(0, 1) = 2 后，又不断出栈，直到找到那个最邻近且等待被计算的 n，并将 2 重新赋值给这个 n 。

然后重复入栈步骤，重复出栈步骤，直至得到最终结果。

比求解 F(n) 更复杂的是，求解 F(n) 只需要一次性入栈，一次性出栈，而求解 Ackerman 函数的入栈过程中也需要出栈操作。接下来我们接着之前的表格继续推算。

好的，现在已经算出结果了，A(2, 1) = 5 。

既然栈中的每个数据元素需要记录 m 和 n 的值，就不采用顺序栈而采用链栈了。

typedef int DataType;
typedef struct node
{DataType m, n;struct node* next;
} LinkStack;

我们再来用代码捋一遍思路。给定一个 A(m, n)，然后入栈 / 出栈进行计算，假设现在计算进行到中途，栈中已经有了一些数据元素，此时 Top 指针指向数据元素 [ m = M, n = N ] ，那么我们接下来怎么继续计算呢，是入栈还是出栈呢？

这取决于 Top 指针指向的数据元素。

如果 M > 0 && N = 0，则将数据元素 [ m = M-1, n = 1 ] 入栈。

//A(m,n)=A(m-1,1)
if(Top->m>0 && Top->n==0)
{LinkStack* p=(LinkStack*)malloc(sizeof(LinkStack));p->m=Top->m-1;p->n=1;p->next=Top;Top=p;
}

如果 M > 0 && N > 0，则将数据元素 [ m = M-1, n = -1 ] 和数据元素 [ m = M, n = N-1 ] 入栈，其中 [ m = M-1, n = -1 ] 是当前 Top 栈顶的 A(M, N) 所换算的 A(M-1, A(M, N-1))，而 A(M, N-1) 有待计算，还不能将该元素的 n 赋值为确切数值，所以先用 -1 做标记；另一个入栈的 [ m = M, n = N-1 ] 就是需要计算的 A(M, N-1)，即 [ m = M-1, n = -1 ] 中的 n 值。

//A(m,n)=A(m-1,A(m,n-1))
if(Top->m>0 && Top->n>0)
{LinkStack* p=(LinkStack*)malloc(sizeof(LinkStack));LinkStack* q=(LinkStack*)malloc(sizeof(LinkStack));p->m=Top->m-1;p->n=-1;q->m=Top->m;q->n=Top->n - 1;p->next=Top;Top=p;q->next=Top;Top=q;
}

如果 M = 0 && N != -1 ，就可以计算当前 A(M, N) = N + 1，这个值其实是栈中所有待计算的 n 值中最邻近 Top 栈顶的 n 值然后开始出栈，记录这个值，然后开始不断出栈，直到找到那个 n，并将该值赋给它。

//A(m,n)=n+1
if (Top->m==0 && Top->n>=0)
{DataType x=Top->n+1;while(Top!=NULL && Top->n>=0){//出栈LinkStack* p=Top;Top=Top->next;free(p);}if(Top==NULL){result=x;break;} else if(Top->n<0){Top->n=x;}
}

完整的代码如下（代码中将入栈出栈的过程模拟地显示出来）：

#include "stdio.h"
#include <stdlib.h>typedef int DataType;
typedef struct node
{DataType m, n;struct node* next;
} LinkStack;void Show(LinkStack* p)
{printf("m:%d    n:%d\n", p->m, p->n);
}DataType Akm(DataType m, DataType n)
{printf("以下模拟进出栈过程：")LinkStack* Top = (LinkStack*)malloc(sizeof(LinkStack));Top->m = m; Top->n = n;Top->next = NULL;Show(Top);DataType result = 0;while (Top != NULL){//akm(m,n)=n+1if (Top->m == 0 && Top->n >= 0){DataType x = Top->n + 1;while (Top != NULL && Top->n >= 0){//出栈LinkStack* p = Top;Top = Top->next;free(p);printf("pop\n");}if (Top == NULL){result = x;break;} else if (Top->n < 0){Top->n = x;}} //akm(m,n)=akm(m-1,1)else if (Top->m > 0 && Top->n == 0){LinkStack* p = (LinkStack*)malloc(sizeof(LinkStack));p->m = Top->m - 1;p->n = 1;p->next = Top;Top = p;Show(Top);}//akm(m,n)=akm(m-1,akm(m,n-1))else if (Top->m > 0 && Top->n > 0){LinkStack* p = (LinkStack*)malloc(sizeof(LinkStack));LinkStack* q = (LinkStack*)malloc(sizeof(LinkStack));p->m = Top->m - 1;p->n = -1;q->m = Top->m;q->n = Top->n - 1;p->next = Top;Top = p;Show(Top);q->next = Top;Top = q;Show(Top);}}return result;
}void main()
{DataType r = Akm(2, 1);printf("结果为：%d\n", r);
}

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