一、理论基础

1、寄生-捕食算法

文献[1]提出了一种新的元启发式优化方法—寄生-捕食算法(Parasitism-Predation Algorithm, PPA)，该算法在乌鸦-布谷鸟-猫系统模型中模拟捕食者(猫)、寄生虫(布谷鸟)和宿主(乌鸦)之间的相互作用，以克服大数据的低收敛性和维数诅咒的问题。

（1）初始化

通过获得nnn个最佳鸟巢，评估所有新的解决方案以解决ddd维优化问题，如下所示：Xinew=Ximin⁡+r1(Ximax⁡−Ximin⁡)(1)X_i^{new}=X_i^{\min}+r_1(X_i^{\max}-X_i^{\min})\tag{1}Xinew=Ximin+r1(Ximax−Ximin)(1)其中，XinewX_i^{new}Xinew是初始解(i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,ni=1,2,…,n)，Ximin⁡X_i^{\min}Ximin是下限，Ximax⁡X_i^{\max}Ximax是上限，r1r_1r1是从0到1之间的均匀分布中提取的随机变量。

（2）筑巢阶段(鸟窝)

初始化后，优化算法将进入筑巢阶段、寄生阶段和捕食阶段。一开始，随着时间的推移，猫减少了乌鸦的数量。通过模拟乌鸦飞行的两种状态来评估筑巢阶段。第一种状态是通过生成随机候选乌鸦，为乌鸦iii生成一个新位置，如下所示：Xit+1=Xit+F(Xr1−Xit)∀i∈ncrow(2)X_i^{t+1}=X_i^t+F(X_{r_1}-X_i^t)\quad\forall i\in n_{crow}\tag{2}Xit+1=Xit+F(Xr1−Xit)∀i∈ncrow(2)其中，r1r_1r1是一个随机指数，FFF是一个Levy飞行步长，它是基于∝\propto∝稳定分布计算的，具有使用不同步长跨越大尺度距离的能力。Levy(σ,μ)Levy(\sigma,\mu)Levy(σ,μ)分布的简单版本密度是：f(q)=γ2π1(q−μ)3/2exp⁡(−σ2(q−μ))0<μ<q<∞(3)f(q)=\sqrt{\frac{\gamma}{2\pi}}\frac{1}{(q-\mu)^{3/2}}\exp\left(-\frac{\sigma}{2(q-\mu)}\right)\quad 0<\mu<q<\infty\tag{3}f(q)=2πγ(q−μ)3/21exp(−2(q−μ)σ)0<μ<q<∞(3)使用蒙特卡洛算法生成具有与Levy飞行相同行为的随机样本LiL_iLi，用于模拟∝\propto∝稳定分布：Li∼step⊕Levy(∝)∼0.01u∣y∣1/α(4)L_i\sim step\oplus Levy(\propto)\sim0.01\frac{u}{|y|^{1/\alpha}}\tag{4}Li∼step⊕Levy(∝)∼0.01∣y∣1/αu(4)其中，stepstepstep是与问题规模相关的缩放系数，u=N(0,σu2)u=N(0,\sigma_u^2)u=N(0,σu2)和y=N(0,σy2)y=N(0,\sigma_y^2)y=N(0,σy2)分别是满足σu=[Γ(1+α)sin⁡(πα/2)Γ((1+α)/2)α2(α−1)/2]1/α,σy=1\sigma_u=\left[\frac{\Gamma(1+\alpha)\sin(\pi\alpha/2)}{\Gamma((1+\alpha)/2)\alpha2^{(\alpha-1)/2}}\right]^{1/\alpha},\,\,\sigma_y=1σu=[Γ((1+α)/2)α2(α−1)/2Γ(1+α)sin(πα/2)]1/α,σy=1的正态分布，⊕\oplus⊕表示矢量乘法。
在筑巢阶段，通过Levy飞行过程，利用当前最佳巢群更新解，发现鸟窝。Levy飞行已经在许多物种中被观察到，这是一种随机游走。Levy飞行的步长由重尾概率分布控制，通常称为Levy分布。Levy飞行在搜索空间的探索上优于均匀随机分布，因此用它代替均匀随机运动来模拟陷入局部最优、过早收敛的规避行为，提高整体搜索空间的探索能力。第二步是通过重新初始化被违反的维度，从之前的状态修改被违反的维度，如下所示：Xi,outnew=Xi,outmin⁡+(Xi,outmax⁡−Xi,outmin⁡)rand[0,1]∀out∈violateddimension(5)X_{i,out}^{new}=X_{i,out}^{\min}+\left(X_{i,out}^{\max}-X_{i,out}^{\min}\right)rand[0,1]\quad\forall\,\,out\in violateddimension\tag{5}Xi,outnew=Xi,outmin+(Xi,outmax−Xi,outmin)rand[0,1]∀out∈violateddimension(5)重新初始化“呈现总体的随机变化，以获得增强的探索和增强搜索空间的多样性。这一阶段被设计为纯粹的探索阶段，在第一种状态下使用Levy飞行，提供在整个搜索空间中散布乌鸦的高能力。此外，超出边界外的维度都要受到约束。

（3）寄生阶段(乌鸦-布谷鸟)

一开始，当捕食效率较低时，猫会将布谷鸟赶尽杀绝；捕食效率高时，导致布谷鸟灭绝。布谷鸟的效率被假定为弱/中等，而猫的效率则降低了。在此阶段，将部分乌鸦卵(宿主)替换为布谷鸟卵，布谷鸟卵与乌鸦卵相似，被发现的可能性较小。此外，根据适应度值选择被寄生的巢，巢越好，被寄生的几率越大。构建新的巢穴来取代一些巢穴，并以概率pap_apa发现一小部分较差的巢穴。布谷鸟的新巢可以通过下式得到：Xi,newcuckoo=Xi,oldcuckoo+SG⋅k(6)X_{i,new}^{cuckoo}=X_{i,old}^{cuckoo}+S_G\cdot k\tag{6}Xi,newcuckoo=Xi,oldcuckoo+SG⋅k(6)SG=(Xr2−Xr3)rand[0,1](7)S_G=(X_{r_2}-X_{r_3})rand[0,1]\tag{7}SG=(Xr2−Xr3)rand[0,1](7)其中，Xi,oldcuckooX_{i,old}^{cuckoo}Xi,oldcuckoo是通过轮盘赌选择的个体；SGS_GSG是均匀高斯分布步长；kkk定义为二进制矩阵，计算如下：k=rand[0,1]>pa(8)k=rand[0,1]>p_a\tag{8}k=rand[0,1]>pa(8)其中，pap_apa是由t/2Tt/2Tt/2T或g/2Gg/2Gg/2G给出的递增因子，其中TTT或GGG是最大迭代次数，ttt或ggg是当前迭代次数。采用二元矩阵kkk尽可能保留老布谷鸟的相当部分，保留探索搜索空间。寄生阶段开始时，矩阵kkk被1填充。然后，增加其价值以改善种群。
由于布谷鸟分泌的驱虫剂，寄生鸟巢被捕食的可能性要小得多。在鸟巢内，有布谷鸟雏鸟的鸟会有更少的乌鸦。根据捕食的压力有多大，这种过程产生的平衡影响范围基本上是从寄生到筑巢。

（4）捕食阶段(乌鸦-猫)

一开始，强大的捕食效率导致猫和乌鸦的爆炸性增长减少，无法为布谷鸟提供足够的生存资源，因此布谷鸟灭绝。这个阶段基于猫的追踪模式，可以是乌鸦-猫阶段。不需要执行搜索模式，因为猫知道空的搜索空间并且不需要搜索。在这个阶段，布谷鸟雏鸟会释放出排斥猫的排斥性化合物。猫追踪巢穴时，臭味分泌物很少，而不是被布谷鸟占据，并随机选择非寄生巢穴作为追踪模式。一旦猫开始追踪猎物，它们就会根据自己的速度在各个维度上移动。猫的强捕食效率导致猫的爆炸性增长，乌鸦和杜鹃的低增长。该阶段包括三个步骤：
步骤1：更新各个维度的速度如下：vk,d=vk,d+r.c.(xbest,d−xk,d),d=1,2,⋯,M(9)v_{k,d}=v_{k,d}+r.c.(x_{best,d}-x_{k,d}),\quad d=1,2,\cdots,M\tag{9}vk,d=vk,d+r.c.(xbest,d−xk,d),d=1,2,⋯,M(9)其中，vk,dv_{k,d}vk,d表示catkcat_kcatk第ddd维上的速度，xbest,dx_{best,d}xbest,d是具有最佳适应值的猫的位置，xk,dx_{k,d}xk,d是catkcat_kcatk的位置，ccc是常数，rrr是[0,1][0,1][0,1]范围内的随机值。
步骤2：检查更新速度是否超过最大速度范围。在新速度大于最大速度的情况下，它被设置为等于极限(速度极限被修改为从1线性下降到0.25)
步骤3：更新catkcat_kcatk的位置如下：xk,d=xk,d+vk,d(10)x_{k,d}=x_{k,d}+v_{k,d}\tag{10}xk,d=xk,d+vk,d(10)

2、PPA算法伪代码

PPA算法的伪代码如图1所示。

图1 PPA算法伪代码

二、仿真实验与结果分析

对PPA算法单独实验，以常用23个测试函数中的F3、F4(单峰函数/30维)、F9、F10(多峰函数/30维)、F20、F21(固定维度多峰函数/6维、4维)为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为1000，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F3
PPA：best: 128.2791, worst: 2096.902, mean: 564.3674, std: 369.7015
函数：F4
PPA：best: 25.5105, worst: 51.9664, mean: 37.5791, std: 6.8245
函数：F9
PPA：best: 36.8724, worst: 121.3954, mean: 70.894, std: 22.0422
函数：F10
PPA：best: 9.6145, worst: 16.0049, mean: 12.8844, std: 1.6332
函数：F20
PPA：best: -3.322, worst: -3.1164, mean: -3.2602, std: 0.074985
函数：F21
PPA：best: -10.1532, worst: -2.2426, mean: -6.8288, std: 3.0824

实验结果表明：PPA算法在求解优化问题上具有良好的性能。

三、参考文献

[1] Al-Attar A. Mohamed, S.A. Hassan, A.M. Hemeida, et al. Parasitism – Predation algorithm (PPA): A novel approach for feature selection[J]. Ain Shams Engineering Journal, 2020, 11: 293-308.

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