复指数与高斯函数乘积的傅里叶变换_测量波函数
此文介绍 Nature, 474, 188 (2011) 这篇工作。
波函数，准确一点说，取定规范并且约去了全局相位后的波函数，原则上是可以通过制备系综大量测量来获知的。这不是什么新鲜事情，所谓的量子层析 (quantum tomography) 技术干的就是这个。尽管单单拿着实空间的概率分布只能确定波函数的模方，并不能获知相位信息，但并没有限制不让我去动量空间，或
而这篇文章则宣称，利用量子力学弱测量理论，我们不需要使用那些乱七八糟的反演算法，简简单单求几个平均值就能测量得到波函数。
为了说明白弱测量，我们首先得搞清楚量子力学经典的冯诺依曼测量理论。我在这个知乎回答中曾简单阐述过，这里直接抄过来：
考虑待测系统A，待测量量用算符
测量过程中，A, B两子系统的相互作用哈密顿量设为
(如果对后一个等号有疑问，请参考量子力学教材中的空间平移算符部分)
如果我们假定
如果x是某个宏观的可观测量，例如电子打在屏幕上的位置，那么我们便完成了将任意可测量量
而所谓的弱测量，则需要在上一步的系统与仪器相互作用完成后加上一个后选择：判断此时的待测系统是否处在某个特定的态
这个式子单看似乎看不出什么门道来。此时我们对任意可观测量定义一个叫测量弱值的东西
然后让系统状态作泰勒展开
显然，第二项的求和要从
当然这句话说起来可能有点怪怪的，按照
@Yiming Pan 在知乎上写过不少关于弱测量的“科普”文章，读者有兴趣可以去看看。
明确了我们可以测量
选定规范让
测量弱值直接就是系统的波函数
而分母上是一个常数，可以看作是归一化因子外加全局相位不用管。
接下来就是实验实现了。这个小组选择了方便操作的单光子系统进行演示，如下图所示
待测系统选作光子的横向自由度，而测量仪器则是光子的自旋自由度，纵向传播来代替时间演化。图中最左侧通过一个单光子源+光阑+透镜+玻片来制备初态波函数；然后在第二块透镜的前焦面上放上一小块半玻片作为待测系统和测量仪器的相互作用：通过旋转取向，它能够仅转动通过其的线偏光的偏振角度，并且让这个角度足够小以达到弱测量的要求；第二块透镜的后焦面上的波函数是前焦面的傅里叶变换，通过一道狭缝选取中心位置，便等价于后选择
这里仅展示一张结果图
左图图是测得的波函数实部和虚部；右图是根据这个实部虚部算的的波函数模方（散点）与直接在前焦面测量（实线）的结果对比；右图上方的方点为相位分布。
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