[USACO19DEC]Moortal Cowmbat G 真牛快打

水帖。。。

题目描述

Bessie 玩格斗游戏真牛快打已经有很长时间了。然而，最近游戏开发者发布了一项更新，这迫使 Bessie 改变她的打法。
游戏总共使用 M 个按键，标记为前 M 个小写字母（1≤M≤26）。Bessie 在游戏中最喜欢的组合键是一个长为 N 的按键字符串 S（1≤N≤105）。然而，由于最近的更新，现在每种组合键必须由一些“连击”所组成，其中连击的定义为相同的按键连续按下至少 K 次（1≤K≤N）。Bessie想要修改她最喜欢的组合键，创造一个同样长为 N 的新组合键，然而这一新组合键由按键连击所组成，以适应规则的变化。
Bessie 需要消耗 aij 天来训练她在组合键中某个特定的位置用按键 j 来取代按键 i（也就是说，将 S 中的某个特定的字符由 i 变为 j 的代价为 aij）。注意有可能将按键 i 换成某种中间按键 k 然后再从按键 k 换成按键 j 会比直接从按键 i 换成按键 j 消耗更短的时间（或者更一般地说，可能有一条起点为 i 终点为 j 的更改路径给出了从按键 i 最终更改为按键 j 的最小总代价）。
帮助 Bessie 求出她创建一个满足新要求的组合键所需要的最小天数。

输入

输入的第一行包含 N，M 和 K。第二行包含 S，最后 M 行包含一个 M×M 的数字方阵 aij，其中 aij 为一个范围为 0…1000 的整数，并且对于所有的 i，有 aii=0。

输出

输出一个整数，表示 Bessie 将她的组合键改为一个满足新要求的新的组合键所需要的最小天数。

样例输入

样例输出

提示

【测试点性质】
测试点 2-4 满足 N≤1000,K≤50。

测试点 5-8 满足 N≤30,000,K≤50。

在这个例子中的最优方案是将 a 改为 b，将 d 改为 e，再将两个 e 都改为 c。这总共消耗1+4+0+0=5天，最终的组合键为 bbccc。

教练说这题炒鸡简单，所以就死命攻这道题，结果可想而知。。。0分潇洒退场

咳咳，接下来进入正解。

大致应该可以看出这是一道动态规划，那么问题来了，怎么个规划法？？？

读了三四次题目，不妨建立模型:

给定一个字符串和一个 M×M 的矩阵 a，表示可以消耗 ai,j 的代价把字符 i 改成字符 j，求把原字符串改成每个连续段长度都不小于 K 的最小代价。(洛谷大神）

其实不难，把f[i]看为使前i个字符符合条件的最小代价.

注意（细节重点）：从提示中“d->e->c"中可以看出原字符矩阵的交换方法不一定是最优的（啊这），所以必须用floyd算法求出c[i][j]用来维护矩阵的最小值。

考虑dp:

f[i]表示前i个字符构成新的有效字符串的最小代价；

但是需要用掉一维的转移，所以时间复杂度是不够的。。。

那么就需要用sum进行预处理与前缀和优化。

定义：sum[i][j][k]表示把第i到第j个字符转化为第k个颜色的最小代价.

这样就有了O(1)的转移.

则f[i] = min{f[j] + sum[i][j][k] | j <= i - k, k <= m}

完事~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~我是分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

你们最爱的代码来喽~

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;char s[100006];
int n, m, k, c[32][32], sum[32][100006], t[32], f[100006];int main(){scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);scanf("%s", s + 1);for(int i = 0; i < m; i++)for(int j = 0; j < m; j++)scanf("%d", &c[i][j]);for(int l = 0; l < m; l++)for(int i = 0; i < m; i++)for(int j = 0; j < m; j++)if(i != j && j != l && i != l)c[i][j] = min(c[i][j], c[i][l] + c[l][j]);for(int i = 0; i < m; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)sum[i][j] = c[s[j] - 'a'][i] + sum[i][j - 1];memset(t, 0x3f, sizeof(t));memset(f, 0x3f, sizeof(f));f[0] = 0;for(int i = k; i <= n; i++)for(int j = 0; j < m; j++)t[j] = min(t[j] + c[s[i] - 'a'][j], f[i - k] + (sum[j][i] - sum[j][i - k])), f[i] = min(t[j], f[i]);printf("%d\n", f[n]);/*for(int i = 0; i < m; i++){for(int j = 0; j < m; j++) cout<<c[i][j]<<" ";cout<<endl;}for(int i = 0; i < m; i++){for(int j = 1; j <= n; j++)cout<<sum[i][j]<<" ";cout<<endl;}*/return 0;
}

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