z变换

文章目录

z变换
基本公式
常用公式
基本性质
其他公式
- 卷积定理
- 与s平面的关系
其他一些说明

基本公式

单边z变换：X(z)=∑n=0∞x(n)z−n双边z变换：X(z)=∑n=−∞∞x(n)z−nX(z)也叫x(n)的生成函数z平面上：左边序列收敛域朝原点，右边序列收敛域朝无穷远点，双边序列收敛域为圆环，有限长序列收敛域为整个z平面z平面自带周期性体现了时域频域“离散”与“周期”的对称性单边z变换：X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n}\\\ \\ 双边z变换：X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}\\\ \\ X(z)也叫x(n)的生成函数\\\ \\ z平面上：\\ 左边序列收敛域朝原点，\\ 右边序列收敛域朝无穷远点，\\ 双边序列收敛域为圆环，\\ 有限长序列收敛域为整个z平面\\\ \\ z平面自带周期性\\体现了时域频域“离散”与“周期”的对称性单边z变换：X(z)=n=0∑∞x(n)z−n 双边z变换：X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n X(z)也叫x(n)的生成函数 z平面上：左边序列收敛域朝原点，右边序列收敛域朝无穷远点，双边序列收敛域为圆环，有限长序列收敛域为整个z平面 z平面自带周期性体现了时域频域“离散”与“周期”的对称性

常用公式

https://blog.csdn.net/lafea/article/details/118651638

基本性质

序号	解释
线性	ax(n)+by(n)↔aX(z)+bY(z)ax(n)+by(n)\leftrightarrow aX(z)+bY(z)ax(n)+by(n)↔aX(z)+bY(z)
双边位移	Z[x(n+m)]=zmX(z)\mathcal Z [x(n+m)]=z^mX(z)Z[x(n+m)]=zmX(z)
单边(右边)位移	左位移：Z[x(n+m)u(n)]=zm[X(z)−∑k=0m−1x(k)z−k]右位移：Z[x(n−m)u(n)]=z−m[X(z)+∑k=−m−1x(k)z−k]左位移：\mathcal Z[x(n+m)u(n)]=z^m[X(z)-\sum_{k=0}^{m-1}x(k)z^{-k}]\\\ \\ 右位移：\mathcal Z[x(n-m)u(n)]=z^{-m}[X(z)+\sum_{k=-m}^{-1}x(k)z^{-k}]左位移：Z[x(n+m)u(n)]=zm[X(z)−k=0∑m−1x(k)z−k] 右位移：Z[x(n−m)u(n)]=z−m[X(z)+k=−m∑−1x(k)z−k]
序列线性加权(微分)	nmx(n)↔[−zddz]mX(z)n^mx(n)\leftrightarrow [-z\frac d {dz}]^mX(z)nmx(n)↔[−zdzd]mX(z)
序列指数加权(尺度变换)	anx(n)↔X(za)a^nx(n)\leftrightarrow X(\frac z a)anx(n)↔X(az)
初值定理	若x(n)为因果序列，则x(0)=lim⁡z→∞X(z)若x(n)为因果序列，则\\x(0)=\lim_{z\to \infty}X(z)若x(n)为因果序列，则x(0)=z→∞limX(z)
终值定理	若x(n)为因果序列，且n→∞x(n)收敛，则lim⁡n→∞x(n)=lim⁡z→1(z−1)X(z)若x(n)为因果序列，且n\to\infty x(n)收敛，则\\\lim_{n\to\infty}x(n)=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z)若x(n)为因果序列，且n→∞x(n)收敛，则n→∞limx(n)=z→1lim(z−1)X(z)

其他公式

卷积定理

Z[x(n)∗h(n)]=X(z)⋅H(z)Z[x(n)h(n)]=12πj∮cX(v)H(zv)1vdv用留数法，则看收敛域内包围的极点\mathcal Z[x(n)*h(n)]=X(z)\cdot H(z)\\\ \\ \mathcal Z[x(n)h(n)]=\frac 1 {2\pi j}\oint_cX(v)H(\frac z v)\frac 1 v dv\\\ \\ 用留数法，则看收敛域内包围的极点 Z[x(n)∗h(n)]=X(z)⋅H(z) Z[x(n)h(n)]=2πj1∮cX(v)H(vz)v1dv 用留数法，则看收敛域内包围的极点

与s平面的关系

z=esTz=e^{sT}z=esT
s平面虚轴映射为z平面的单位圆
s平面左半平面映射为z平面单位圆内
s平面右半平面映射为z平面单位圆外
z平面上一个点可对应s平面上无穷多个点，周期为2π\piπ

其他一些说明

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