mutiparametric programming

多参数规划求解需要安装MPT求解器
MPT安装脚本下载

generic example

以下的二次规划(QP)，决策变量为z\mathbf{z}z，参数向量为x\mathbf{x}x

%%
A = randn(15,3);
b = rand(15,1);
E = randn(15,2);z = sdpvar(3,1);
x = [0.1;0.2];F = [A*z <= b+E*x];
obj = (z-1)'*(z-1);sol = optimize(F,obj);
value(z)

为了得到关于x\mathbf{x}x的参数解，需要调用函数solvemp，并且显式告知求解器x\mathbf{x}x是参数变量，并且为参数变量定义范围

%%
x = sdpvar(2, 1);
F = [A*z<=b+E*x, -1<=x<=1];
sol = solvemp(F, obj, [], x)

输出值是MPT的解结构，设置参数得到对应参数下的解

% 设置参数，得到对应解
xx = [0.1; 0.2];
[i, j]=isinside(sol{1}.Pn, xx);
sol{1}.Fi{j}*xx+sol{1}.Gi{j}

可以利用YALMIP提供的nonlinear operator framework整合流程

%%
[sol, diagnostics, aux, value_func, optimal_z]=solvemp(F, obj, [], x);
% assign and value
assign(x, [0.1; 0.2]);
value(optimal_z)

MPT重载了绘图函数，可以绘制出不同参数值下的最优解情况

% plot
plot(value_func);
plot(optimal_z);

Simple MPC example

定义线性系统的数值，预测矩阵和当前状态的变量xxx，控制序列为U(x)U(x)U(x)，对于一个5阶段的MPC系统描述如下（create_CHS是一个cheat_function用于产生当前状态xxx和输入控制序列UUU的数值矩阵）

N = 5;
A = [2 -1; 1 0];
B = [1; 0];
C = [0.5 0.5];
[H, S]=create_CHS(A, B, C, N);
x = sdpvar(2, 1);
U = sdpvar(N, 1);

预测输出为当前状态和控制序列的函数

Y = H*x+S*U;

设置费用函数为输出序列和控制序列消耗的二次项之和

obj = Y'*Y+U'*U;

设置约束条件，末端约束和控制向量约束

F = [1>=U>=-1, 1>=Y(N)>=1];

在∣x∣≤5|x|\leq 5∣x∣≤5条件下求解控制向量U(x)U(x)U(x)

The explicit solution U(x)U(x)U(x) is obtained by calling solvemp with the parametric variable xxx as the fourth argument. Additionally, since we only are interested in the first element of the solution U(x)U(x)U(x), we use a fifth input to communicated this.

F = [F, 5>=x>=-5];
% solve
[sol, digno, aux, value_func, Optimizer]=solvemp(F, obj, [], x, U(1));

求出控制序列如图所示
价值函数如图

Mixed integer multiparametric programming

通过添加二元变量(binary variable)可以求解扩展MPC问题

N = 3;
A = [2 -1;1 0];
B = [1;0];
C = [0.5 0.5];
[H,S] = create_CHS(A,B,C,N);
x = sdpvar(2,1);
U = sdpvar(N,1);
Y = H*x+S*U;objective = norm(Y,1) + norm(U,1);F = [1 >= U >= -1];
F = [F, 5 >= x >= -5];

加入额外的逻辑约束后，这类非凸算子引入许多二元变量，此时MPC问题比较有效率的求解方式是动态规划

F = [F, ismember(U, [-1:1/3:1])];
[sol,diagnostics,aux,Valuefunction,Optimizer] = solvemp(F,objective,[],x,U(1));
plot(Optimizer);

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