正态分布中的半正定矩阵（协方差矩阵）

2024-06-09 01:40:50

正态分布中的半正定矩阵（协方差矩阵）

1.什么是正定矩阵和半正定矩阵

我们学习半正定矩阵前，得先了解，正定矩阵与半正定矩阵的关系以及什么是正定矩阵。这里先学习什么是二次型。

首先给出二次型的定义
定义1:设P为数域，aij∈P,i,j=1,2,…,na_ij∈P,i,j=1,2,…,naij∈P,i,j=1,2,…,n,n个数字x_1,x_2…,x_n的二次齐次多项式。

称为数域P上的一个n元二次型
而这个式子可进一步可写成：

由于约定二次型中

，可知xixj=xjxix_i x_j=x_j x_ixixj=xjxi,有

由于笔者数学基础差，在此记录一下转化过程

将上式子的系数a排列成一个n×n矩阵

这个矩阵就称为二次型的矩阵，由于上面我们所约定aij=aji,i,j=1,2,…,na_ij=a_ji,i,j=1,2,…,naij=aji,i,j=1,2,…,n,由此可知A′=AA'=AA′=A。

意思是：转置矩阵=原矩阵
这种转置矩阵和原矩阵相等的矩阵称为对称矩阵，即二次型矩阵都是对称矩阵。

这个式子可以进一步化成以下形式：
原式为：

把x提出来

再次转化成矩阵形式
再把矩阵中x提取出来得到

其中

我们称 f(x)=X’AX 为二次型的矩形形式，其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵。
二次型f称为实对称矩阵A的二次型。实对称矩阵A的秩称为:二次型的秩。于是，二次型f与其实对称矩阵A之间有一一对应关系。

∀x∈Rn且

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