信号的截断-能量泄漏及窗函数

一、信号的截断及能量泄漏效应
　　数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系．然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。
　

　
　　周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x（t）在时域分布为无限长（- ∞，∞），当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号x_T(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱X（ω）是位于ω。处的δ函数，而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数，按照频域卷积定理，则截断信号x_T(t) 的谱X_T(ω) 应为：

　　将截断信号的谱 X_T(ω)与原始信号的谱X（ω）相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f₀处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。
　　
　　信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了．又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题．
　
　　如果增大截断长度T，即矩形窗口加宽，则窗谱 W（ω）将被压缩变窄（π／T减小）．虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小．当窗口宽度T趋于无穷大时，则谱窗W（ω）将变为δ（ω）函数，而δ（ω）与X（ω）的卷积仍为X（ω），这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差．
　　

　
　　为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。
　
　
二、常用窗函数
　
实际应用的窗函数，可分为以下主要类型：
　
　　（1）幂窗——采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间（t）的高次幂；
　
　　（2）三角函数窗——应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；
　　
　　（3）指数窗——采用指数时间函数，如e^-st形式，例如高斯窗等．

下面介绍几种常用窗函数的性质和特点．
　
（l）矩形窗
　　矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为

相应的窗谱为：

　　矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗．这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣（下图），导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象．
　

　
　　
（2）三角窗
三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式，其定义为：

相应的窗谱为：

三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣，如图所示．
　

（3）汉宁（Hanning）窗
　　汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：

相应的窗谱为：

由此式可以看出，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sine（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π／T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。
　　
　　下图表示汉宁窗与矩形窗的谱图对比，可以看出，汉宁窗主瓣加宽（第一个零点在2π／T处）并降低，旁瓣则显著减小．第一个旁瓣衰减一32dB，而矩形窗第一个旁瓣衰减一13dB．此外，汉宁窗的旁瓣衰减速度也较快，约为60dB／（10oct），而矩形窗为20dB／（10oct）。由以上比较可知，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降．
　

　
（4）海明（Hamming）窗
海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：

其窗谱为：

　
　　海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一42dB．海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB／（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数．
　
（5）高斯窗
高斯窗是一种指数窗．其时域函数为：

式中a为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当，可以使截断点（T为有限值）处的函数值比较小，则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。高斯富谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低．高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等．
　
除了以上几种常用窗函数以外，尚有多种窗函数，如平顶窗、帕仁（Parzen）窗、布拉克曼（Blackman）窗、凯塞（kaiser）窗等．
　
对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求．如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比．

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